如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x²+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？
（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∵抛物线y=﹣x²+bx+c经过A、B两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x²﹣3x+4．
令y=0，得﹣x²﹣3x+4=0，解得x₁=﹣4，x₂=1，
∴C（1，0）；
（2）如答图1所示，设D（t，0）．
∵OA=OB，
∴∠BAO=45°，
∴E（t，t），P（t，﹣t²﹣3t+4）．
PE=y_P﹣y_E=﹣t²﹣3t+4﹣t=﹣t²﹣4t=﹣（t+2）²+4，
∴当t=﹣2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（﹣2，6）；
（3）存在．如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H．
设OH=m（m>0），
∵OA=OB，
∴∠BAO=45°，
∴NH=AH=4﹣m，
∴y_Q=4﹣m．又M为OA中点，
∴MH=2﹣m．△MON为等腰三角形：
①若MN=ON，则H为底边OM的中点，
∴m=1，
∴y_Q=4﹣m=3．
由﹣x_Q²﹣3x_Q+4=3，解得：x_Q=，
∴点Q坐标为（，3）或（，3）；
②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，
根据勾股定理得：MN²=NH²+MH²，
即2²=（4﹣m）²+（2﹣m）²，
化简得：m²﹣6m+8=0，
解得：m₁=2，m₂=4（不合题意，舍去），
∴y_Q=2，由﹣x_Q²﹣3x_Q+4=2，解得：x_Q=，
∴点Q坐标为（，2）或（，2）；
③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，
根据勾股定理得：ON²=NH²+OH²，
即2²=（4﹣m）²+m²，
化简得：m²﹣4m+6=0，
∵△=﹣8<0，
∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．
所求Q点的坐标为：（，3）或（，3）或
（，2）或（，2）．