如图，已知直线l1：y=x+与直线l2：y=﹣2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G

题型：四川省期末题难度：来源：

如图，已知直线l₁：y=x+与直线l₂：y=﹣2x+16相交于点C，l₁、l₂分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l₁、l₂上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积；
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
（3）若矩形DEFG沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

答案

解：（1）由x+=0，得x=﹣4．
∴A点坐标为（﹣4，0），
由﹣2x+16=0，得x=8．
∴B点坐标为（8，0），
∴AB=8﹣（﹣4）=12，
由，解得，
∴C点的坐标为（5，6），
∴S_△ABC=AB·CM=×12×6=36；
（2）∵点D在l₁上，且x_D=x_B=8，
∴y_D=×8+=8，
∴D点坐标为（8，8），
又∵点E在l₂上，且y_E=y_D=8，
∴﹣2x_E+16=8，
∴x_E=4，
∴E点坐标为（4，8），
∴DE=8﹣4=4，EF=8；
（3）①当0≤t<3时，如图1，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR（t=0时，为四边形CHFG）．
过C作CM⊥AB于M，则Rt△RGB∽Rt△CMB，
∴，即，
∴RG=2t，
∵Rt△AFH∽Rt△AMC，
∴S=S_△ABC﹣S_△BRG﹣S_△AFH=36﹣×t×2t﹣（8﹣t）×（8﹣t），
即S=﹣t²+t+；
②当3≤t<8时，如图2所示，矩形DEFG与△ABC重叠部分为梯形HFGR，由①知，HF=（8﹣t），
∵Rt△AGR∽Rt△AMC，
∴ =，即=，
∴RG=（12﹣t），
∴S=（HF+RG）×FG=[（8﹣t）+（12﹣t）]×4，即S=﹣t+；
③当8≤t≤12，如图3所示，矩形DEFG与△ABC重叠部分为△AGR，
由②知，AG=12﹣t，RG=（12﹣t），
∴S=AG·RG=（12﹣t）×（12﹣t），即S=（12﹣t）²，
∴S=t²﹣8t+48．

图1






图2







图3