Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA，OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内

题型：北京市期末题难度：来源：

Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA，OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内做等边△ODE。
（1）如图（1），当E点恰好落在线段AB上，求E点坐标；
（2）在（1）问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移如图，图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；
（3）若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

答案

解：（1）作EH?OB于点H，
∵△OED是等边三角形，
∴∠EOD=60°
又∵∠ABO=30°，
∴∠OEB=90°
∵BO=4，
∴OE=OB=2
∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°
∴OH=1，EH=
∴E（1，）；
（2）存在线段EF=OO"
∵∠ABO=30°，∠EDO=60°
∴∠ABO=∠DFB=30°，
∴DF=DB
∴OO′=4﹣2﹣DB=2﹣DB
=2﹣DF=ED﹣FD=EF；
（3）所求函数关系式为：y=