已知，如图，在平面直角坐标系中，以BC为直径的⊙M交x轴正半轴于点A、B，交y轴正半轴于点E、F，过点C作CD垂直y轴，垂足为点D，连接AM并延长交⊙M于点P，

题型：湖北省期中题难度：来源：

已知，如图，在平面直角坐标系中，以BC为直径的⊙M交x轴正半轴于点A、B，交y轴正半轴于点E、F，过点C作CD垂直y轴，垂足为点D，连接AM并延长交⊙M于点P，连接PE。
（1）求证：∠FAO=∠EAM；
（2）若二次函数y=﹣x²+px+q的图象经过点B、C、E，且以C为顶点，当点B的横坐标等于2时，四边形OECB的面积是，求这个二次函数的解析式。

答案

解：（1）如图，∵四边形APEF是⊙M的内接四边形
∴∠APE=∠AFO
∵AP为⊙M的直径
∴∠EAM=90°﹣∠APE
∵∠FAO=90°﹣∠AFO
∴∠EAM=∠FAO；
（2）解：因为二次函数y=﹣x²+px+q的图象的顶点为C点，
所以得C点的坐标，
∵图象过E点，
∴得E点的坐标为（0，q）
连接AC，则AC⊥OB，
∵CD⊥y轴，AO⊥OD，
∴四边形OACD为矩形
∴DC=OA，
连接OC，S_△OCB=OB·AC=×2×
S_△OCE=OE·CD=q=
∴
即p²+pq+4q=11
∵点B（2，0）在抛物线y=﹣x²+px+q上
∴2p+q﹣4=0，联立
解这个方程组，得（不合题意，舍去）
∴过B、C、E三点的二次函数的解析式为y=﹣x²+x+2。