在等腰梯形ABCD中,已知AB=6,BC=,∠A=45°,以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系,将等腰梯形ABCD饶A点按顺时针方向旋转90°得到等

在等腰梯形ABCD中,已知AB=6,BC=,∠A=45°,以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系,将等腰梯形ABCD饶A点按顺时针方向旋转90°得到等

题型:北京市期末题难度:来源:
在等腰梯形ABCD中,已知AB=6,BC=,∠A=45°,以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系,将等腰梯形ABCD饶A点按顺时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG(O﹑E﹑F﹑G分别是A﹑B﹑C﹑D旋转后的对应点)(图1)(1)写出C﹑F两点的坐标;
(2)等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动,设移动后的OA=x(图2),等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y,当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时,求y与x之间的关系式;
(3)线段DC上是否存在点P,使EFP为等腰三角形?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.
答案

解:(1)C的坐标是(4,2),F的坐标是(﹣2,4);
(2)过D作DM⊥AB于M,过C作CN⊥AB于N,
图(1)中,在直角三角形AMD中,AD=2,∠DOM=45°,
因此DM=AM=2,
因此D点的坐标是(2,2),
图(2),当OA=x时,设DC交y轴于H,AD交GO于Q,
那么DH=x﹣2,
所以梯形AODH的面积=×(DH+OA)×DM=2x﹣2,
△AQO中,根据旋转的性质及旋转角度为90度,
可得:∠AQD=90°,
又因为∠QAM=45°,
因此AQ=QO=x,
所以△AQO的面积=×AQ×OQ=x2
因此重合部分的面积y=S梯形AODH﹣S△AQO=2x﹣2﹣x2
即:y=﹣x2+2x﹣2(2<x<4);
(3)由于P点在DC线上,设点P的坐标为(m,2),
根据旋转的性质以及图(1)中,B、C两点的坐标可知:E点的坐标是(0,6),F点的坐标是(﹣2,4),
①当以E为顶点,EF、EP为腰时,EF=EP=2
因此(22=m2+(2﹣6)2
即m2+16=8,此方程无解,
因此不存在这种情况;
②当以F为顶点,EF、FP为腰时,EF=FP=2
因此(22=(m+2)2+(2﹣4)2
即m(m+4)=0,m=﹣4,m=0,
当m=﹣4时,P点坐标为(﹣4,2),
PE==4=2EF,
因此P、E、F在一条直线上构不成三角形,
因此此时P点的坐标应该是(0,2);
③当以P为顶点,FP、EP为腰,EP=PF,
因此m2+(2﹣6)2=(m+2)2+(2﹣4)2
即m=2,那么此时P的坐标为(2,2),
综上所述,存在符合条件的P点且坐标为(2,2)或(0,2)。

举一反三
将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是[     ]
A.y=2(x+1)2+3
B.y=2(x﹣1)2﹣3
C.y=2(x+1)2﹣3
D.y=2(x﹣1)2+3
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已知点A(﹣1,﹣1)在抛物线y=(k2﹣1)x2﹣2(k﹣2)x+1上,点B与点A关于抛物线的对称轴对称。
(1)求k的值和点B的坐标;
(2)是否存在与此抛物线仅有一个公共点B的直线?如果存在,求出符合条件的直线的解析式;如果不存在,简要说明理由。
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抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点A(),B()与y轴交于点C,设抛物线的顶点为D,在△BCD中,边CD的高为h。
(1)若c=ka,求系数k的值;
(2)当∠ACB=90°,求a及h的值;
(3)当∠ACB≥90°时,经过探究、猜想请你直接写出h的取值范围。(不要求书写探究、猜想的过程)
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Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠ABO=30°,BO=4,分别以OA,OB边所在的直线建立平面直角坐标系,D点为x轴正半轴上的一点,以OD为一边在第一象限内做等边△ODE。
(1)如图(1),当E点恰好落在线段AB上,求E点坐标;
(2)在(1)问的条件下,将△ODE在线段OB上向右平移如图,图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段?如果存在,请指出这条线段,并加以证明;如果不存在,请说明理由;
(3)若点D从原点出发沿x轴正方向移动,设点D到原点的距离为x,△ODE与△AOB重叠部分的面积为y,请直接写出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
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将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)2+4[     ]
A.先向左平移3个单位,再向上平移4个单位
B.先向左平移3个单位,再向下平移4个单位
C.先向右平移3个单位,再向上平移4个单位
D.先向右平移3个单位,再向下平移4个单位
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