如图1,已知菱形ABCD的边长为2,点A在x轴负半轴上,点B在坐标原点.点D的坐标为(- ,3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点。
(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF、AF,设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t<3 )。
①是否存在这样的t,使△ADF与△DEF相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时,求t的取值范围。(写出答案即可)
解:(1)由题意得AB的中点坐标为(-3 ,0),CD的中点坐标为(0,3),
分别代入y=ax2+b,得,解得,,
∴这条抛物线的函数解析式为y=-x2+3;
(2)①存在。如图2所示,在Rt△BCE中,∠BEC=90°,BE=3,BC=,
∴,
∴∠C=60°,∠CBE=30°,
∴EC=BC=,DE=,
又∵AD∥BC,
∴∠ADC+∠C=180°,
∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF与△DEF相似,则△ADF中必有一个角为直角,
(I)若∠ADF=90 °,∠EDF=120°-90°=30°,
在Rt△DEF中,DE=,得EF=1,DF=2,
又∵E(t,3),F(t,-t2+3),
∴EF=3-(-t2+3)=t2,
∴t2=1,
∵t>0,
∴t=1,
此时,
∴,
又∵∠ADF=∠DEF,
∴△ADF∽△DEF;
(II)若∠DFA=90°,可证得△DEF∽△FBA,则,
设EF=m,则FB=3-m,
∴,即m2-3m+6=0,此方程无实数根,
∴此时t不存在;
(III)由题意得,∠DAF<∠DAB=60°,
∴∠DAF≠90°,此时t不存在,
综上所述,存在t=1,使△ADF与△DEF相似;
②。
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