解:(1)∵抛物线的顶点为坐标原点,
∴A、D关于抛物线的对称轴对称;
∵E是AB的中点,
∴O是矩形ABCD对角线的交点,又B(2,1)
∴A(2,﹣1)、D(﹣2,﹣1);
由于抛物线的顶点为(0,0),可设其解析式为:y=ax2,
则有:4a=﹣1,a=﹣
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2.
(2)①证明:由抛物线的解析式知:P(a,﹣a2),而R(a,1)、F(0,﹣1),
则:PF===a2+1,
PR==a2+1.
∴PF=PR.
②由①得:RF=;若△PFR为等边三角形,
则RF=PF=PR,得:=a2+1,
即:a4﹣a2﹣3=0,得:a2=﹣4(舍去),a2=12;
∴a=±2,﹣a2=﹣3;
∴存在符合条件的P点,坐标为(2,﹣3)、(﹣2,3).
③同①可证得:QF=QS;在等腰△SQF中,∠1=(180°﹣∠SQF);
同理,在等腰RPF中,∠2=(180°﹣∠RPF);
∵QS⊥BC、PR⊥BC,
∴QS∥PR,∠SQP+∠RPF=180°
∴∠1+∠2=(360°﹣∠SQF﹣∠RPF)=90°
∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°,即△SFR是直角三角形.
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