如图,抛物线l交x轴于点A(﹣3,0)、B(1,0),交y轴于点C(0,﹣3),将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1.(1)求l1的解析式;(2)在l1的对称轴上找

如图,抛物线l交x轴于点A(﹣3,0)、B(1,0),交y轴于点C(0,﹣3),将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1.(1)求l1的解析式;(2)在l1的对称轴上找

题型:四川省中考真题难度:来源:
如图,抛物线l交x轴于点A(﹣3,0)、B(1,0),交y轴于点C(0,﹣3),将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1
(1)求l1的解析式;
(2)在l1的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大,并说出理由;
(3)平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点,若以EF为直径的圆恰与x轴相切,求此圆的半径
答案
解:(1)如图1所示,设经翻折后,点A、B的对应点分别为A1、B1
依题意,由翻折变换的性质可知A1(3,0),B1(﹣1,0),C点坐标不变,
因此,抛物线l1经过A1(3,0),B1(﹣1,0),C(0,﹣3)三点,设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c,
则有:
解得a=1,b=﹣2,c=﹣3,
故抛物线l1的解析式为:y=x2﹣2x﹣3.
(2)抛物线l1的对称轴为:x==1,
如图2所示,连接B1C并延长,与对称轴x=1交于点P,则点P即为所求.
此时,|PA1﹣PC|=|PB1﹣PC|=B1C.
设P"为对称轴x=1上不同于点P的任意一点,
则有:|P"A﹣P"C|=|P"B1﹣P"C|<B1C(三角形两边之差小于第三边),
故|P"A﹣P"C|<|PA1﹣PC|,即|PA1﹣PC|最大.
设直线B1C的解析式为y=kx+b,
则有:,解得k=b=﹣3,
故直线B1C的解析式为:y=﹣3x﹣3.
令x=1,得y=﹣6,
故P(1,﹣6).
(3)依题意画出图形,如图3所示,
有两种情况.
①当圆位于x轴上方时,设圆心为D,半径为r,
由抛物线及圆的对称性可知,点D位于对称轴x=1上,
则D(1,r),F(1+r,r).
∵点F(1+r,r)在抛物线y=x2﹣2x﹣3上,
∴r=(1+r)2﹣2(1+r)﹣3,
化简得:r2﹣r﹣4=0  
解得r1=,r2=(舍去),
∴此圆的半径为
②当圆位于x轴下方时,
同理可求得圆的半径为
综上所述,此圆的半径为
举一反三
己知二次函数y=ax2+ bx +c的图象交x轴于A、B两点,交y轴于C点,且△ABC是直角三角形,请写出符合要求的一个二次函数的解析式:(     )
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如图,有一抛物线形的立交拱桥,这个拱桥的最大高度为16m,跨度为40m,现把它的图形放在坐标系中,若在离跨度中心M到5m处垂直竖立一铁柱支撑拱顶,这铁柱应长(     )
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如图,二次函数y= ax2+bx+c(a>O)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1、3,与y轴负半轴交于点C.(1) 2a+6=0;(2)a+6+c<o;(3)c = -3a;△ABD是等腰直角三角形;(5)使 △ACB为等腰三角形的a的值可以有四个.下面五个结论:(      )
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把二次函数y=(x-1)2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为(    ).
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