如图1,在直角坐标系中,已知△AOC的两个顶点坐标分别为A(2,0),C(0,2).(1)请你以AC的中点为对称中心,画出△AOC的中心对称图形△ABC,此图与
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如图1,在直角坐标系中,已知△AOC的两个顶点坐标分别为A(2,0),C(0,2).(1)请你以AC的中点为对称中心,画出△AOC的中心对称图形△ABC,此图与
题型:新疆自治区中考真题
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如图1,在直角坐标系中,已知△AOC的两个顶点坐标分别为A(2,0),C(0,2).(1)请你以AC的中点为对称中心,画出△AOC的中心对称图形△ABC,此图与原图组成的四边形OABC的形状是
_________
,请说明理由;
(2)如图2,已知D(
,0),过A,C,D的抛物线与(1)所得的四边形OABC的边BC交于点E,求抛物线的解析式及点E的坐标;
(3)在问题(2)的图形中,一动点P由抛物线上的点A开始,沿四边形OABC的边从A﹣B﹣C向终点C运动,连接OP交AC于N,若P运动所经过的路程为x,试问:当x为何值时,△AON为等腰三角形(只写出判断的条件与对应的结果)?
答案
解:(1)设AC的中点为E,连接OE并延长至B,使得BE=OE;连接AC,AB,则△ABC为所求作的△AOC的中心对称图形.
∵A(2,0),C(0,2),
∴OA=OC,
∵△ABC是△AOC的中心对称图形,
∴AB=OC,BC=OA,
∴OA=AB=BC=OC,
∴四边形
OABC是正方形;
(2)设经过点A、C、D的抛物线解析式为y=ax
2
+bx+c,
∵A(2,0),C(0,2),D(
,0),
∴
,解得a=-2,b=3,c=2,
∴抛物线的解析式为:y=-2x
2
+3x+2;由(1)知,四边形OABC为正方形,
∴B(2,2),
∴直线BC的解析式为y=2,
令y=-2x
2
+3x+2=2,解得x
1
=0,x
2
=
,
∴点E的坐标为(
,2).
(3)在点P的运动过程中,有三种情形使得△AON为等腰三角形,
如图②所示:
①△AON
1
.此时点P与点B重合,点N
1
是正方形OABC对角线的交点,且△AON
1
为等腰直角三角形,
则此时点P运动路程为:x=AB=2;
②△AON
2
.此时点P位于B﹣C段上.
∵正方形OABC,OA=2,
∴AC=2
,
∵AN
2
=OA=2,
∴CN
2
=AC﹣AN
2
=2
﹣2.
∵AN
2
=OA,
∴∠AON
2
=∠AN
2
O,
∵BC∥OA,
∴∠AON
2
=∠CP
2
N
2
,又∠AN
2
O=∠CN
2
P
2
,
∴∠CN
2
P
2
=∠CP
2
N
2
,
∴CP
2
=CN
2
=2
﹣2.
此时点P运动的路程为:x=AB+BC﹣CP
2
=2+2﹣(2
﹣2)=6﹣2
;
③△AO
N
3
.此时点P到达终点C,P、C、N三点重合,△AON
3
为等腰直角三角形,
此时点P运动的路程为:x=AB+BC=2+2=4.
综上所述,当x=2,x=6﹣2
或x=4时,△AON为等腰三角形.
举一反三
如图,已知点
点C在y轴的正半轴上,且
抛物线
经过
三点,其顶点为
.
求抛物线
的解析式;
(1)求抛物线的解析式
(2)试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关
系,并加以证明;
(3)在抛物线上是否存在点N,使得
?如果存在,那么这样的点有几个?如果不存在,请说明理由。
题型:四川省中考真题
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(1)请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律?说明确定是这种函数而不是其它函数的理由,并求出它的解析式;
(2)当旋钮角度为多少时,烧开一壶水所用燃气量最少?最少是多少?
(3)某家庭使用此款燃气灶,以前习惯把燃气开到最大,现采用最节省燃气的旋钮角度,每月平均能节
约燃气10立方米,求该家庭以前每月的平均燃气用量.
题型:山东省中考真题
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如图,抛物线y=
x
2
+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.
(1).求抛物线的解析式.
(2)
若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在
抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
注:二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-
题型:黑龙江省中考真题
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如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(﹣2 ,0)、B(2 ,0)、C(0 ,﹣1)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线
交于M、N两点.分别过点C,D(0,﹣2)作平行于x轴的直线
l
1
、
l
2
.
(1)求抛物线对应二次函数的解析式;
(2)求证以ON为直径的圆与直线
l
1
相切;
(3)求线段MN的长(用k表示),并证明M、N两点到直线
l
2
的距离之和等于线段MN的长.
题型:山东省中考真题
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如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(0,3),B(6,3),C(6,0),抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)过点A.
(1)求c的值;
(2)若a=﹣1,且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E,求△ADE的面积S的最大值;
(3)若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N,线段MN的垂直平分线l过点0,交线段BC于点F.当BF=1时,求抛物线的解析式.
题型:福建省中考真题
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