一开口向上抛物线与x轴交于A(m﹣2,0),B(m+2,0)两点,顶点C,且AC⊥BC.(1)若m为常数,求抛物线解析式.(2)点Q在直线y=kx+1上移动,O
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一开口向上抛物线与x轴交于A(m﹣2,0),B(m+2,0)两点,顶点C,且AC⊥BC. (1)若m为常数,求抛物线解析式. (2)点Q在直线y=kx+1上移动,O为原点,当m=4时,直线上只存在一个点Q使得∠OQB=90°,求此时直线解析式. |
答案
解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x﹣m)2﹣2, ∵AC⊥BC, ∴由抛物线的对称性可知:△ACB为等腰直角三角形, 又∵AB=4, ∴B(m+2,0)代入y=a(x﹣m)2﹣2,得a=. ∴解析式为:; (2)当m=4时,B(6,0),y=kx+1与x轴交于H,与y轴交于E(0,1), 设OB中点为G,以OB为直径作⊙G, 当直线与⊙G切于点Q时,只存在一个点Q使∠OQB=90°, 设HO=t, ∵HQ是⊙G切线, ∴∠EOH=HQG=90°, 又∵∠OHE=∠QHG, ∴△HOE∽△HQG, ∴=, 由QG=3,OE=1,代入得HQ=3t, 在△HQG中,HQ2+QG2=HG2,即(3t)2+32=(t+3)2, 整理得4t2﹣3t=0, 解得:t=,或t=0(舍去), 所以点H的坐标为(﹣,0), 把H(﹣,0)代入y=kx+1得:k=, 所以此时直线解析式为y=x+1. |
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举一反三
将抛物线y=x2向右平移5个单位,在向上平移2个单位,则新抛物线的解析式为 |
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A.y=(x-5)2+2 B.y=(x+5)2+2 C.y=(x-5)2-2 D.y=(x+5)2-2 |
已知抛物线的顶点为P,与x轴的正半轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M(0,),若AM∥BC,求抛物线的解析式. |
将抛物线y=x2向左平移3个单位,在向下平移1个单位,则新抛物线的解析式为 |
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A.y=(x﹣3)2+1 B.y=(x+3)2+1 C.y=(x﹣3)2﹣1 D.y=(x+3)2﹣1 |
如图,已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B. (1)求该二次函数的表达式; (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标; (3)点P(m,m)与点Q均在该函数图象上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q到x轴的距离. |
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某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛,花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案,图案中AE=MN.准备在形如Rt△MEH的四个全等三角形内种植红色花草,在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植黄色花草,在正方形MNPQ内种植紫色花草,每种花草的价格如下表: (1)S与x之间的函数关系式为S=( ) (2)求W与x之间的函数关系式,并求所需的最低费用是多少元; (3)当买花草所需的费用最低时,求EM的长. |
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