如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段O

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA₁B₁；再将△OA₁B₁绕着线段OB₁的中点旋转180°，得到△OA₂B₁，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B、B₁、A₂．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB₁的面积最大？求出这时点P的坐标．
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB₁的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=，
∴OB=4，∴B（﹣4，0），B₁（0，﹣4），A₂（3，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B、B₁、A₂，
∴，解得
∴抛物线的解析式为：y=x²+x﹣4．
（2）点P是第三象限内抛物线y=x²+x﹣4上的一点，
如答图①，过点P作PC⊥x轴于点C．
设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，n=m²+m﹣4．
于是PC=|n|=﹣n=﹣m²﹣m﹣4，OC=|m|=﹣m，BC=OB﹣OC=|﹣4|﹣|m|=4+m．
S_△PBB1=S_△PBC+S_梯形PB1OC﹣S_△OBB1=×BC×PC+×（PC+OB₁）×OC﹣×OB×OB₁=×（4+m）×（﹣m²﹣m﹣4）+×[（﹣m²﹣m﹣4）+4]×（﹣m）﹣×4×4=m²﹣m=（m+2）2+
当m=﹣2时，△PBB₁的面积最大，这时，n=，即点P（﹣2，）．
（3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x₀，y₀），使点Q到线段BB₁的距离为．
如答图②，过点Q作QD⊥BB₁于点D．
由（2）可知，此时△QBB₁的面积可以表示为：（x₀+2）2+，
在Rt△OBB₁中，BB₁==
∵S△QBB₁=×BB₁×QD=××=2，
∴（x₀+2）²+=2，
解得x₀=﹣1或x₀=﹣3当x₀=﹣1时，y₀=﹣4；当x₀=﹣3时，y₀=﹣2，
因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB₁的距离为，
这样的点Q的坐标是（﹣1，﹣4）或（﹣3，﹣2）．
                   ②                                        ①