在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E．（1）求经过

题型：四川省中考真题难度：来源：

在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E．
（1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；
（2）将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交（1）中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=DG能成立吗？请说明理由；
（3）过（2）中的点F的直线交射线CB于点P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE为等腰三角形，求Q点的坐标．

答案

解：（1）∵BE⊥DB交x轴于点E，
OABC是正方形，
∴∠DBC=EBA．
在△BCD与△BAE中，
∵，
∴△BCD≌△BAE，
∴AE=CD．
∵OABC是正方形，OA=4，D是OC的中点，
∴A（4，0），B（4，4），C（0，4），
D（0，2），
∴E（6，0）．
设过点D（0，2），B（4，4），E（6，0）的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，则有：，解得，
∴经过点D、B、E的抛物线的解析式为：
y=x²+x+2；
（2）结论OF=DG能成立．理由如下：
由题意，当∠DBE绕点B旋转一定的角度后，同理可证得△BCG≌△BAF，
∴AF=CG．
∵x_M=，
∴y_M=x_M²+x_M+2=，
∴M（，）．
设直线MB的解析式为y_MB=kx+b，
∵M（，），B（4，4），
∴，解得，
∴y_MB=x+6，
∴G（0，6），
∴CG=2，DG=4．
∴AF=CG=2，OF=OA﹣AF=2，F（2，0）．
∵OF=2，DG=4，
∴结论OF=DG成立；
（3）如图，△PFE为等腰三角形，
可能有三种情况，分类讨论如下：
①若PF=FE．
∵FE=4，BC与OA平行线之间距离为4，
∴此时P点位于射线CB上，
∵F（2，0），
∴P（2，4），此时直线FP⊥x轴，
∴x_Q=2，
∴y_Q=x_Q²+x_Q+2=，
∴Q₁（2，）；
②若PF=PE．如图所示，
∵AF=AE=2，BA?FE，
∴△BEF为等腰三角形，
∴此时点P、Q与点B重合，
∴Q₂（4，4）；
③若PE=EF．
∵FE=4，BC与OA平行线之间距离为4，
∴此时P点位于射线CB上，
∵E（6，0），
∴P（6，4）．
设直线y_PF的解析式为y_PF=kx+b，
∵F（2，0），P（6，4），
∴，解得，
∴y_PF=x﹣2．
∵Q点既在直线PF上，也在抛物线上，
∴x²+x+2=x﹣2，
化简得5x²﹣14x﹣48=0，
解得x₁=，x₂=﹣2（不合题意，舍去）
∴x_Q=2，
∴y_Q=x_Q﹣2=﹣2=．
∴Q₃（，）．
综上所述，Q点的坐标为Q₁（2，）或
Q₂（4，4）或Q₃（，）．