如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设

如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设

题型:不详难度:来源:
如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x.
(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;
(3)探究:△ABC的最大面积?
答案
(1)∵在△ABC中,AC=1,AB=x,BC=3-x.





1+x>3-x
1+3-x>x

解得1<x<2;

(2)①若AC为斜边,则1=x2+(3-x)2,即x2-3x+4=0,无解,
②若AB为斜边,则x2=(3-x)2+1,解得x=
5
3
,满足1<x<2,
③若BC为斜边,则(3-x)2=1+x2,解得x=
4
3
,满足1<x<2,
x=
5
3
x=
4
3


(3)在△ABC中,作CD⊥AB于D,
设CD=h,△ABC的面积为S,则S=
1
2
xh

①若点D在线段AB上,


1-h2
+


(3-x)2-h2
=x

(3-x)2-h2=x2-2x


1-h2
+1-h2

x


1-h2
=3x-4

∴x2(1-h2)=9x2-24x+16,
即x2h2=-8x2+24x-16.
∴S2=
1
4
x2h2=-2x2+6x-4=-2(x-
3
2
2+
1
2
4
3
≤x<2),
x=
3
2
时(满足
4
3
≤x<2)S2取最大值
1
2
,从而S取最大值


2
2

②若点D在线段MA上,


(3-x)2-h2
-


1-h2
=x

同理可,得
S2=
1
4
x2h2=-2x2+6x-4
=-2(x-
3
2
2+
1
2
(1<x≤
4
3
),
易知此时S<


2
2

综合①②得,△ABC的最大面积为


2
2
举一反三
矩形OABC的顶点A(-8,0)、C(0,6),点D是BC边上的中点,抛物线y=ax2+bx经过A、D两点,如图所示.
(1)求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a、b的值;
(2)在y轴上取一点P,使PA+PD长度最短,求点P的坐标;
(3)将抛物线y=ax2+bx向下平移,记平移后点A的对应点为A1,点D的对应点为D1,当抛物线平移到某个位置时,恰好使得点O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点,求此抛物线的解析式.
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如图,点M(4,0),以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B.已知抛物线y=
1
6
x2+bx+c过点A和B,与y轴交于点C.
(1)求点C的坐标,并画出抛物线的大致图象;
(2)点Q(8,m)在抛物线y=
1
6
x2+bx+c上,点P为此抛物线对称轴上一个动点,求PQ+PB的最小值;
(3)CE是过点C的⊙M的切线,点E是切点,求OE所在直线的解析式.
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如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点M是抛物线上一点,以B,C,D,M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标.
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如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,DEAC,交AB与点E,点F在AC上,DC=DF,若BC=3,EB=4,CD=x,CF=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
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如图1,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值;
(3)如图2,过点E(1,-1)作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ(点M,N,Q分别与点A,E,F对应),使点M,N在抛物线上,求点M,N的坐标.
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