矩形OABC的顶点A（-8，0）、C（0，6），点D是BC边上的中点，抛物线y=ax2+bx经过A、D两点，如图所示．（1）求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a

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矩形OABC的顶点A（-8，0）、C（0，6），点D是BC边上的中点，抛物线y=ax²+bx经

过A、D两点，如图所示．
（1）求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a、b的值；
（2）在y轴上取一点P，使PA+PD长度最短，求点P的坐标；
（3）将抛物线y=ax²+bx向下平移，记平移后点A的对应点为A₁，点D的对应点为D₁，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到A₁、D₁两点距离之和OA₁+OD1最短的一点，求此抛物线的解析式．

答案

（1）由矩形的性质可知：B（-8，6），
∴D（-4，6）；点D关于y轴对称点D′（4，6），
将A（-8，0）、D（-4，6）代入y=ax²+bx得：

64a-8b=0

16a-4b=6

，
∴

a=-

b=-3

；

（2）设直线AD′的解析式为y=kx+n，则：
∴

-8k+n=0

4k+n=6

，
解得：

n=4

，
∴直线y=

x+4，与y轴交于点（0，4），
点P（0，4）；

（3）由于OP=4，故将抛物线向下平移4个单位时，有OA₁+OD₁最短；
∴y+4=-

x²-3x，
∴此时的解析式为y=-

x²-3x-4．

举一反三

如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛

物线y=

x²+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象；
（2）点Q（8，m）在抛物线y=

x²+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；
（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．

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如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．

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如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE∥AC，交AB与点E，点F在AC上，DC=DF，若BC=3，EB=4，CD=x，CF=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

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如图1，抛物线y=ax²-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值；
（3）如图2，过点E（1，-1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ（点M，N，Q分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标．

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某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大并求这个最大值；
（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请

你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

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