如图1,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B.(1)求此抛物线的解析式;(2)若直线y=kx-1

如图1,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B.(1)求此抛物线的解析式;(2)若直线y=kx-1

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如图1,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值;
(3)如图2,过点E(1,-1)作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ(点M,N,Q分别与点A,E,F对应),使点M,N在抛物线上,求点M,N的坐标.
答案
(1)∵抛物线y=ax2-3ax+b过A(-1,0)、C(3,2),
∴0=a+3a+b,2=9a-9a+b.
解得a=-
1
2
,b=2,
∴抛物线解析式y=-
1
2
x2+
3
2
x+2.

(2)如图1,过点C作CH⊥AB于点H,
由y=-
1
2
x2+
3
2
x+2得B(4,0)、D(0,2).
又∵A(-1,0),C(3,2),
∴CDAB.
由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形,
∴S△AOD=S△BHC
设矩形ODCH的对称中心为P,则P(
3
2
,1).
由矩形的中心对称性知:过P点任一直线将它的面积平分.
∴过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分.
当直线y=kx-1经过点P时,
得1=
3
2
k-1
∴k=
4
3

∴当k=
4
3
时,直线y=
4
3
x-1将四边形ABCD面积二等分.

(3)如图2,由题意知,
∵△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ,
∴设绕点I旋转,联结AI,NI,MI,EI,
∵AI=MI,NI=EI,
∴四边形AEMN为平行四边形,
∴ANEM且AN=EM.
∵E(1,-1)、A(-1,0),
∴设M(m,n),则N(m-2,n+1)
∵M、N在抛物线上,
∴n=-
1
2
m2+
3
2
m+2,n+1=-
1
2
(m-2)2+
3
2
(m-2)+2,
解得m=3,n=2.
∴M(3,2),N(1,3).
举一反三
某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品.已知每件产品的进价为40元,每年销售该种产品的总开支(不含进价)总计120万元.在销售过程中发现,年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间存在着如图所示的一次函数关系.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)试写出该公司销售该种产品的年获利z(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式(年获利=年销售额一年销售产品总进价一年总开支).当销售单价x为何值时,年获利最大并求这个最大值;
(3)若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元,借助(2)中函数的图象,请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下,要使产品销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?
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我市某工艺厂为配合北京奥运,设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销.经过调查,得到如下数据:
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销售单价x(元/件)30405060
每天销售量y(件)500400300200
已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A、B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积等于______.
如图1,直线L:y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线G:y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.
(1)该抛物线G的解析式为______;
(2)将直线L沿y轴向下平移______个单位长度,能使它与抛物线G只有一个公共点;
(3)若点E在抛物线G的对称轴上,点F在该抛物线上,且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形,求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长.
(4)连接AC,得△ABC.若点Q在x轴上,且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似,求点Q的坐标.
如如在直角坐标系中,二次函数y=x2-4x+中的顶点是C,与x轴相交于A,B两点(A在B的左边).
(1)若点B的横坐标xB满足5<xB<c,求中的取值范围;
(2)若tan∠ACB=
4
,求中的值;
(十)当中=c时,点D,E同时从点B出发,分别向左、向右在抛物线它移动,点D,E在x轴它的正投影分别为M,N,设BM=m(m<cB),BN=n,当m,n满足怎样的等量关系时,△cDE的内心在x轴它?