(1)当x=0时,y=3, 当y=0时,-x+3=0,解得x=3, ∴点B、C的坐标为B(3,0),C(0,3), 又∵抛物线过x轴上的A,B两点,且对称轴为x=2, 根据抛物线的对称性, ∴点A的坐标为(1,0), ∴, 解得, ∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3;
(2)设平移后的直线解析式为y=-x+b, 则, ∴x2-3x+3-b=0, ∵它与抛物线G只有一个公共点, ∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×(3-b)=9-12+4b=0, 解得b=, 3-=, ∴向下平移了个单位;
(3)∵A(1,0),B(3,0), ∴AB=3-1=2, ①当AB是边时,∵点E在对称轴上,平行四边形的对边平行且相等, ∴EF=AB=2, ∴点F的横坐标为0或4, 当横坐标为0时,y=02-4×0+3=3, 当横坐标为4时,y=42-4×4+3=3, ∴点F的坐标为F1(0,3)或F2(4,3), 此时点E的坐标为E1(2,3), 此时AE==, ∴平行四边形的周长为:2(AB+AE)=2(2+)=4+2; ②当AB边为对角线时,EF与AB互相垂直平分, ∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴此时点E、F的坐标为E2(2,1),F3(2,-1), ∴AE==, AF==, ∴平行四边形的周长为:2(AE+AF)=2(+)=4, 综上所述,点E、F的坐标分别为E1(2,3),F1(0,3)或F2(4,3),此时平行四边形的周长为4+2, 或E2(2,1),F3(2,-1),此时平行四边形的周长为4;
(4)连接PB,由y=x2-4x+3=(x-2)2-1,得P(2,-1), 设抛物线的对称轴交x轴于点M, ∵在Rt△PBM中,PM=MB=1, ∴∠PBM=45°,PB=. 由点B(3,0),C(0,3)易得OB=OC=3,在等腰直角三角形OBC中,∠ABC=45°, 由勾股定理,得BC=3. 假设在x轴上存在点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似. ①PB与AB是对应边时,∵∠PBQ=∠ABC=45°, ∴=, 即=, 解得BQ=3, 又∵BO=3, ∴点Q与点O重合, ∴Q1的坐标是(0,0), ②PB与BC是对应边时,∵∠PBQ=∠ABC=45°, ∴=, 即=, 解得QB=, ∵OB=3, ∴OQ=OB-QB=3-=, ∴Q2的坐标是(,0), ③∵∠PBx=180°-45°=135°,∠BAC<135°, ∴∠PBx≠∠BAC. ∴点Q不可能在B点右侧的x轴上 综上所述,在x轴上存在两点Q1(0,0),Q2(,0),能使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似. |