解:(1)当x>0时,直线的解析式为y=bx, 联立两函数的解析式可得:ax2+b=bx,即ax2-bx+b=0, 由于两函数的交点只有一个,因此△=b2-4ab=0,b=4a。 同理可求得当x<0时,b=4a 因此a、b需满足的条件有b=4a。 (2)由(1)可知:y=ax2+4a,y=4a|x|, 因此A(-2,8a),B(2,8a) 因此S△AOB=×4×8a=16a。 (3)设三角形AOB的内心为M,过M作MN⊥OA于N, 设AB与y轴的交点为H,设MN=MH=x, 根据△ONM∽△OHA,则有:
即 ∴ ∴OM=8a-x=4a+ 易知抛物线的顶点P坐标为(0,4a) 因此三角形AOB的内心与抛物线的最低点间的距离MP=。 (4)根据题意:ax2+b>b|x|,即ax2-b|x|+b>0①, ∵a>0,b>0 如果要使①恒成立,b2-4ab<0, 因此0<b<4a。 |