如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB。（1）求证：mn=-6；（2）当S△AOB=

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB。
（1）求证：mn=-6；
（2）当S_△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S_△POF：S_△QOF=1：3？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）作BC⊥x轴于C点，AD⊥x轴于D点，
∵A，B点坐标分别为（m，6），（n，1），
∴BC=1，OC=-n，OD=m，AD=6，
又OA⊥OB，易证△CBO∽△DOA，
∴
∴
∴mn=-6。
（2）由（1）得OA=mBO
又∵S_△AOB=10
∴
即
∴
又
∴
∵mn=-6，
∴m=2，n=-3，
∴A坐标为（2，6），B坐标为（-3，1），
易得抛物线解析式为y=-x²+10。
（3）解：直AB为y=x+4，且与y轴交于F（0，4）点，
∴OF=4，
假设存在直线l交抛物线于P，Q两点，且使S_△POF：S_△QOF=1：3，如图所示，
则有PF：FQ=1：3，作PM⊥y轴于M点，QN⊥y轴于N点，
∵P在抛物线y=-x²+10上，∴设P坐标为（x，-x²+10），
则FM=OM-OF=（-x²+10）-4=-x²+6，易证△PMF∽△QNF，
∴
∴
∴
∴Q点坐标为（-3x，3x²-14），
∵Q点在抛物线y=-x²+10上，
∴3x²-14=-9x²+10
解得
∴P坐标为
Q坐标为
∴易得直线为
根据抛物线的对称性可得直线另解为。