如图所示的直角坐标系中，若△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=8，D为斜边BC的中点，点P由点A出发沿线段AB作匀速运动，P′是P关于AD的对称点；点Q由点D

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如图所示的直角坐标系中，若△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=8

，D为斜边BC的中点，点P由点A出发沿线段AB作匀速运动，P′是P关于AD的对称点；点Q由点D出发沿射线DC方向作匀速运动，且满足四边形QDPP′是平行四边形，设平行四边形QDPP′的面积为y，DQ=x。
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）求当y取最大值时，过点P，A，P′的二次函数解析式；
（3）能否在（2）中所求的二次函数图象上找一点E使△EPP′的面积为20？若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=8

，
∴BC=16
∵D为斜边BC的中点，
∴AD=BD=DC=8，
∵四边形

为平行四边形，DQ=x，
∴

，
故DF=AD-AF=

x
则平行四边形

的面积

；
（2）当x=8时，y取最大值，此时Q点运动到C点，P点运动到AB的中点，则点A、P、P′的坐标分别为（0，8）、（-4，4）、（4，4），
设过上述三点的二次函数解析式为

，
代入P点坐标有

；
（3）假设在

的图象上存在一点E，使

，
设E的坐标为（x，y），则

，
即|y-4|=5，可得y=9、-1，代入解析式可得E点坐标为

。

举一反三

如图1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q，设S表示矩形PCMH的面积，S′表示矩形NFQC的面积。

（1）S与S′相等吗？请说明理由；
（2）设AE=x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？
（3）如图2，连接BE，当AE为何值时，△ABE是等腰三角形。

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如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接AP并延长交⊙P于C点，过点C的直线y=-2x+b交x轴于点D，交y轴于点E，且⊙P的半径为

，AB=4。

（1）求点P，点C的坐标；
（2）求证：CD是⊙P的切线；
（3）若二次函数y=-

x²+mx+n的图象经过A，C两点，求这个二次函数的解析式，并写出使函数值大于一次函数y=-2x+b值的x的取值范围。

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如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AD⊥BC，垂足为点D。点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P从点B开始沿BC边向点C运动，速度为1cm/s，点Q从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）。

（1）当x为何值时，将△PCQ沿直线PQ翻折180°，使C点落到C′点，得到的四边形CQC′P是菱形；
（2）设△PQD的面积为y（cm²），当0＜x＜2.5时，求y与x的函数关系式；
（3）当0＜x＜2.5时，是否存在x，使得△PDM与△MDQ的面积比为5∶3，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。

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两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按图1所示的位置放置，A与C重合，O与C重合。
（1）求图1中，A，B，D三点的坐标；
（2）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D点运动到与B点重合时停止，设运动x秒后Rt△CED和Rt△AOB重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当Rt△CED以（2）中的速度和方向运动，运动时间x=4秒时Rt△CED运动到如图2所示的位置，求经过A，G，C三点的抛物线的解析式；
（4）现有一半径为2，圆心P在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问⊙P在运动过程中是否存在⊙P与x轴或y轴相切的情况，若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由。

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经过x轴上A（-1，0）、B（3，0）两点的抛物线y=ax²+bx+c交y轴于点C，设抛物线的顶点为D，若以DB为直径的⊙G经过点C，求解下列问题：

（1）用含a的代数式表示出C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如图，当a＜0时，能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？你能写出Q点的坐标吗？

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