如图,正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止,连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G,连接EG

如图,正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止,连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G,连接EG

题型:江苏省中考真题难度:来源:
如图,正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止,连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G,连接EG、FG。
(1)设AE=x时,△EGF的面积为y,求y关于x的函数关系式,并填写自变量x的取值范围;
(2)P是MG的中点,请直接写出点P运动路线的长。
答案
解:(1)当点E与点A重合时,x=0,y=×2×2=2;
当点E与点A不重合时,0<x≤2
在正方形ABCD中,∠A=∠ADC=90°,
∴∠MDF=90°,
∴∠A=∠MDF
∵AM=DM,∠AMF=∠DMF,
∴△AME≌△DMF,
∴ME=MF
在Rt△AME中,AE=x,AM=1,ME=
∴EF=2MF=2
过点M作MN⊥BC,垂足为N(如图)
则∠MNG=90°,∠AMN=90°,MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°,
∴∠GMN+∠EMN=90°,
∴∠AME=∠GMN,
∴Rt△AME∽Rt△NMG
,即
∴MG=2ME=2
∴y=EF·MG=×2×2=2x2+2,
∴y =2x2+2,其中0≤x≤2。(2)点P运动路线的长为2。
举一反三
在同一坐标平面内,图象不可能由函数y=3x2+1的图象通过平移变换,轴对称变换得到的二次函数的一个解析式是(    )。
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△ABC与△A′B′C′是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形,M、N分别是直角边AC、BC的中点,△ABC位置固定,△A′B′C′按如图叠放,使斜边A′B′在直线MN上,顶点B′与点M重合,等腰直角△A′B′C′以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移,直到点A"与点N重合,设x秒时,△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为y平方厘米。
(1)当△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为平方厘米时,求△A′B′C′移动的时间;
(2)求y与x的函数关系式;
(3)求△A′B′C′与△ABC重叠部分面积的最大值。

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如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax2上。
(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标;
(2)平移抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点。
①当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′最短,求此时抛物线的函数解析式;
②当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由。
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如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合),连接DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y。

(1)求y关于x的函数关系式;
(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
(3)若,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?
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已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-4,3)、B(2,0)两点,当x=3和x=-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等,经过点C(0,-2)的直线l与x轴平行,O为坐标原点。

(1)求直线AB和这条抛物线的解析式;
(2)以A为圆心,AO为半径的圆记为⊙A,判断直线l与⊙A的位置关系,并说明理由;
(3)设直线AB上的点D的横坐标为-1,P(m,n)是抛物线y=ax2+bx+c上的动点,当△PDO的周长最小时,求四边形CODP的面积。
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