已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA<OC）是方程的两个根，且抛物线

题型：四川省中考真题难度：来源：

已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA<OC）是方程的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1。
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵OA、OC的长是x²-5x+4=0的根，OA<OA，
∴OA=1，OC=4，
∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴，
∴A（-1，0），C（0，-4），
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴由对称性可得B点坐标为（3，0），
∴A、B、C三点坐标分别是：A（-1，0），B（3，0），C（0，-4）；
（2）∵点C（0，-4）在抛物线图象上，
∴c=-4，
∴ 将A（-1，0），B（3，0）代入得，
解得，
∴所求抛物线解析式为：；
（3）根据题意，BD=m，则AD=4-m，
在Rt△OBC中，BC==5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF=sin∠CBA=，
∴，
∴，
∴S_△CDE=S_△ADC-S_△ADE==，
∵，
∴当m=2时，S有最大值2，
∴点D的坐标为（1，0）。