如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E。(1)求证:△ACE∽△CBE;(2)若AB=8,设OE=x(0<x<4),CE2=y,请求出y关于x的函数

如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E。(1)求证:△ACE∽△CBE;(2)若AB=8,设OE=x(0<x<4),CE2=y,请求出y关于x的函数

题型:湖南省中考真题难度:来源:
如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E。
(1)求证:△ACE∽△CBE;
(2)若AB=8,设OE=x(0<x<4),CE2=y,请求出y关于x的函数解析式;
(3)探究:当x为何值时,tan∠D=
答案
解:(1)∵AB为⊙O直径,
∴∠ACB=90°,即∠ACE+∠BCE=90°,
又CD⊥AB,
∴∠A+∠ACE=90°,
∴∠A=∠ECB,
∴Rt△ACE∽Rt△CBE;
(2)∵△ACE∽△CBE,
,即CE2=AE·BE=(AO+OE)(OB-OE),
∴y=(4+x)(4-x)=16-x2
(3)∵
解得x=2或x=-4(舍去)
故当x=2时,
举一反三
在直角坐标系xoy中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于两点A、B,与y轴交于点C,其中A在B的左侧,B的坐标是(3,0),将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C。
(1)求k的值;
(2)求直线BC和抛物线的解析式;
(3)求△ABC的面积;
(4)设抛物线顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标。

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阅读材料:如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”,我们可得出一种计算三角形面积的新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
解答下列问题:
如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B。
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及
(3)是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由。
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如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(-1,0)、(0,-),点B在x轴上,已知某二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合),过点P作y轴的平行线交BC于点F。
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若设点P的横坐标为m,用含m的代数式表示线段PF的长;
(3)求△PBC面积的最大值,并求此时点P的坐标。

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如图,已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A、C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D。
(1)求点A的坐标(用m表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连接PQ并延长交BC于点E,连接BQ并延长交AC于点F,试证明:FC(AC+EC)为定值。
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在平面直角坐标系中,已知A(-4,0),B(1,0),且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0,2),过点C作圆的切线交x轴于点D。

(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点,问:是否存在以线段EF为直径的圆,恰好与x轴相切?若存在,求出该圆的半径,若不存在,请说明理由?
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