已知直角坐标系中有一点A(-4,3),点B在x轴上,△AOB是等腰三角形。(1)求满足条件的所有点B的坐标;(2)求过O,A,B三点且开口向下的抛物线的函数表达
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已知直角坐标系中有一点A(-4,3),点B在x轴上,△AOB是等腰三角形。(1)求满足条件的所有点B的坐标;(2)求过O,A,B三点且开口向下的抛物线的函数表达
题型:山东省中考真题
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已知直角坐标系中有一点A(-4,3),点B在x轴上,△AOB是等腰三角形。
(1)求满足条件的所有点B的坐标;
(2)求过O,A,B三点且开口向下的抛物线的函数表达式(只需求出满足条件的一条即可);
(3)在(2)中求出的抛物线上存在点P,使得以O,A,B,P四点为顶点的四边形是梯形,求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积。
答案
解:作AC⊥x轴,由已知得OC=4,AC=3,OA=
=5,
(1)当OA=OB=5时,
如果点B在x轴的负半轴上,如图(1),点B的坐标为(-5,0),
如果点B在x轴的正半轴上,如图(2),点B的坐标为(5,0),
当OA=AB时,点B在x轴的负半轴上,如图(3),
BC=OC,则OB=8,点B的坐标为(-8,0),
当AB=OB时,点B在x轴的负半轴上,如图(4),
在x轴上取点D,使AD=OA,可知OD=8,
由∠AOB=∠OAB=∠ODA,可知△AOB∽△ODA,则
,解得OB=
,点B的坐标为(-
,0);
(2)当AB=OA时,抛物线过O(0,0),A(-4,3),B(-8,0)三点,
设抛物线的函数表达式为
,可得方程组
,
解得a=
,b=
,
,
(当OA=OB时,同理得
)
(3)当OA=AB时,若BP∥OA,如图(5),作PE⊥x轴,
则∠AOC=∠PBE,∠ACO=∠PEB=90°,△AOC∽△PBE,
,设BE=4m,PE=3m,则点P的坐标为(4m-8,-3m),
代入
,解得m=3,
则点P的坐标为(4,-9),
S
梯形ABPO
=S
△ABO
+S
△BPO
=48,
若OP∥AB(图略),根据抛物线的对称性可得点P的坐标为(-12,-9),
S
梯形AOPB
=S
△ABO
+S
△BPO
=48,
(当OA=OB时,若BP∥OA,如图(6),作PF⊥x轴,
则∠AOC=∠PBF,∠ACO=∠PFB=90°,△AOC∽△PBF,
,设BF=4m,PF=3m,
则点P的坐标为(4m-5,-3m),代入
,解得m=
,
则点P的坐标为(1,-
),
S
梯形ABPO
=S
△ABO
+S
△BPO
=
,
若OP∥AB(图略),
作PF⊥x轴,则∠ABC=∠POF,∠ACB=∠PFO=90°,△ABC∽△POF,
,设点P的坐标为(-n,-3n),代入
,
解得n=9,则点P的坐标为(-9,-27),
S
梯形AOPB
=S
△ABO
+S
△BPO
=75。
举一反三
如图,在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上落点为B,有人在直线AB上点C(靠点B一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,试图让网球落入桶内,已知AB=4米,AC=3米,网球飞行最大高度OM=5米,圆柱形桶的直径为0.5米,高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)。
(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶时,网球能不能落入桶内?
(2)当竖直摆放圆柱形桶多少个时,网球可以落入桶内?
题型:四川省中考真题
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如图所示,抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),以AB为直径作⊙M,过抛物在线一点P作⊙M的切线PD切点为D,并与⊙M的切线AE相交于点E,连结DM并延长交⊙M于点N,连结AN、AD。
(1)求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标;
(2)若四边形EAMD的面积为
,求直线PD的函数关系式;
(3)抛物在线是否存在点P,使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。
题型:山东省中考真题
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已知抛物线
有不同的两点E(k+3,-k
2
+1)和F(-k-1,-k
2
+1)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,抛物线
与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B,M为AB的中点,∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转,且∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D,设AD的长为m(m>0),BC的长为n,求n和m之间的函数关系式;
(3)当m,n为何值时,∠PMQ的边过点F?
题型:四川省中考真题
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如图,八一广场要设计一个矩形花坛,花坛的长、宽分别为200m、120m,花坛中有一横两纵的通道,横、纵通道的宽度分别为3xm、2xm。
(1)用代数式表示三条通道的总面积S;当通道总面积为花坛总面积的
时,求横、纵通道的宽分别是多少?
(2)如果花坛绿化造价为每平方米3元,通道总造价为3168x元,那么横、纵通道的宽分别为多少米时,花坛总造价最低?并求出最低造价。(以下数据可供参考:85
2
=7225,86
2
=7396,87
2
=7569)
题型:四川省中考真题
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如图,抛物线y=ax
2
+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D,E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G。
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)在直线EF上求一点H,使△CDH的周长最小,并求出最小周长;
(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,△EFK的面积最大?并求出最大面积。
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