如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3)。(1)求此抛物线的解析式;(
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如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3)。(1)求此抛物线的解析式;(
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如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3)。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问:当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积。
答案
解:(1)设抛物线为
∵抛物线经过点A(0,3)
∴
∴
∴抛物线为
。
(2)l与⊙C相交
当
时,
,
∴B为(2,0),C为(6,0)
∴
设⊙C与BD相切于点E,连接
,
则
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵抛物线对称轴l为
∴点C到l的距离为2
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交。
(3)如图,过点P作平行于y轴的直线AC交于点Q
可求出AC的解析式为
设点P的坐标为(m,
)
设点Q的坐标为(m,
)
∴
∵
∴当
时,
的面积最大为
此时,P点坐标为(3,
)。
举一反三
已知:如图一次函数y=
x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=
x
2
+bx+c的图象与一次函数y=
x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0)。
(1)求二次函数的解析式;
(2)求四边形BDEC的面积S;
(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由。
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如图,直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA∥BC,D是BC上一点,BD=
OA=
,AB=3,∠OAB=45°,E、F分别是线段OA、AB上的两动点,且始终保持∠DEF=45°。
(1)直接写出D点的坐标;
(2)设OE=x,AF=y,试确定y与x之间的函数关系;
(3)当△AEF是等腰三角形时,将△AEF沿EF折叠,得到△A′EF,求△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积。
备用图
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如图所示,抛物线y=ax
2
+bx+c经过原点O,与x轴交于另一点N,直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点,与抛物线交于B(1,m)、C(2,2)两点。
(1)求直线与抛物线的解析式;
(2)若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x,y),设∠PON=α,求当△PON的面积最大时tanα的值;(3)若动点P保持(2)中的运动路线,问是否存在点P,使得△POA的面积等于△PON面积的
?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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某同学从家里出发,骑自行车上学时,速度v(米/秒)与时间t(秒)的关系如图a,A(10,5),B(130,5),C(135,0)。
(1)求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式;
(2)计算该同学从家到学校的路程(提示:在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度,路程=平均速度×时间);
(3)如图b,直线x=t(0≤t≤135),与图a的图象相交于P、Q,用字母S表示图中阴影部分面积,试求S与t的函数关系式;
(4)由(2)(3),直接猜出在t时刻,该同学离开家所超过的路程与此时S的数量关系。
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已知抛物线
顶点为C(1,1)且过原点O。过抛物线上一点P(x,y)向直线
作垂线,垂足为M,连FM(如图)。
(1)求字母a,b,c的值;
(2)在直线x=1上有一点
,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;
(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由。
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