已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O。过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）。（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x=1上有一点

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已知抛物线

顶点为C（1，1）且过原点O。过抛物线上一点P（x，y）向直线

作垂线，垂足为M，连FM（如图）。

（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x=1上有一点

，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由。

答案

解：（1）a=-1，b=2，c=0；
（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为

，横坐标为

，
此时，MP=MF=PF=1，故△MPF为正三角形；
（3）不存在；因为当t＜

，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞

，x＞1时，PM与PN不可能相等。

举一反三

已知关于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0。
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y= mx²-（3m-1）x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式；
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围。

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如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）。

（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小，请求出点P的坐标。

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如图，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG。

（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；
（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值。

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如图，拋物线y₁=ax²-2ax+b经过A（-1，0），C（2，

）两点，与x轴交于另一点B；

（1）求此拋物线的解析式；
（2）若拋物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点 B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=

y₂，求y₂与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与拋物线交于点E，G，与（2）中的函数图像交于点F，H。问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由。

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如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，

），以点C为顶点的抛物线

恰好经过轴上A、B两点。

（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？

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