已知关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0。(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根;(2)若关于x的二次函数y= mx2-(3m-1)x+2m
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已知关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0。(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根;(2)若关于x的二次函数y= mx2-(3m-1)x+2m
题型:湖北省中考真题
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已知关于x的方程mx
2
-(3m-1)x+2m-2=0。
(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根;
(2)若关于x的二次函数y= mx
2
-(3m-1)x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式;
(3)在直角坐标系xoy中,画出(2)中的函数图象,结合图象回答问题:当直线y=x+b与(2)中的函数图象只有两个交点时,求b的取值范围。
答案
解:(1)分两种情况讨论:
①当m=0 时,方程为x-2=0,
∴x=2 方程有实数根;
②当m≠0时,则一元二次方程的根的判别式
△=[-(3m-1)]
2
-4m(2m-2)=m
2
+2m+1=(m+1)
2
≥0
不论m为何实数,△≥0成立,
∴方程恒有实数根综合①②,可知m取任何实数,方程mx
2
-(3m-1)x+2m-2=0恒有实数根;
(2)设x
1
,x
2
为抛物线y= mx
2
-(3m-1)x+2m-2与x轴交点的横坐标,
则有x
1
+x
2
=
,x
1
·x
2
=
由| x
1
-x
2
|=
=
=
=
,
由| x
1
-x
2
|=2得
=2,
∴
=2或
=-2
∴m=1或m=
∴所求抛物线的解析式为:y
1
=x
2
-2x或y
2
=-
x
2
+2x-
即y
1
= x(x-2)或y
2
=-
(x-2)(x-4)
其图象如右图所示;
(3)在(2)的条件下,直线y=x+b与抛物线y
1
,y
2
组成的图象只有两个交点,结合图象,求b的取值范围,
当y
1
=y时,得x
2
-3x-b=0,△=9+4b=0,解得b=-
;
同理
,可得△=9-4(8+3b)=0,得b=-
,
观察函数图象可知当b<-
或b>-
时,直线y=x+b与(2)中的图象只有两个交点,
由
当y
1
=y
2
时,有x=2或x=1
当x=1时,y=-1,
所以过两抛物线交点(1,-1),(2,0)的直线y=x-2,
综上所述可知:当b<-
或b>-
或b=-2时,直线y=x+b与(2)中的图象只有两个交点。
举一反三
如图,已知二次函数y=ax
2
-4x+c的图象与坐标轴交于点A(-1,0)和点B(0,-5)。
(1)求该二次函数的解析式;
(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得△ABP的周长最小,请求出点P的坐标。
题型:山东省中考真题
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如图,在锐角三角形ABC中,BC=12,△ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点(D不与A,B重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG。
(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长;
(2)设DE=x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式,写出x的取值范围,并求出y的最大值。
题型:山东省中考真题
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如图,拋物线y
1
=ax
2
-2ax+b经过A(-1,0),C(2,
)两点,与x轴交于另一点B;
(1)求此拋物线的解析式;
(2)若拋物线的顶点为M,点P为线段OB上一动点(不与点 B重合),点Q在线段MB上移动,且∠MPQ=45°,设线段OP=x,MQ=
y
2
,求y
2
与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(3)在同一平面直角坐标系中,两条直线x=m,x=n分别与拋物线交于点E,G,与(2)中的函数图像交于点F,H。问四边形EFHG能否为平行四边形?若能,求m,n之间的数量关系;若不能,请说明理由。
题型:湖北省中考真题
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如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0,
),以点C为顶点的抛物线
恰好经过轴上A、B两点。
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位?
题型:山东省中考真题
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如图,已知点A(3,0),以A为圆心作⊙A与y轴切于原点,与x轴的另一个交点为B,过B作⊙A的切线l。
(1)以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C(0,9),求此抛物线的解析式;
(2)抛物线与x轴的另一个交点为D,过D作⊙A的切线DE,E为切点,求此切线长;
(3)点F是切线DE上的一个动点,当△BFD与EAD△相似时,求出BF的长。
题型:青海省中考真题
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