如图，拋物线y1=ax2-2ax+b经过A（-1，0），C（2，）两点，与x轴交于另一点B；（1）求此拋物线的解析式；（2）若拋物线的顶点为M，点P为线段OB上

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，拋物线y₁=ax²-2ax+b经过A（-1，0），C（2，）两点，与x轴交于另一点B；
（1）求此拋物线的解析式；
（2）若拋物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点 B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=y₂，求y₂与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与拋物线交于点E，G，与（2）中的函数图像交于点F，H。问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由。

答案

解：（1）∵拋物线y₁=ax²-2ax+b经过A（-1，0），C（0，）两点，
∴，∴a=-，b=，
∴拋物线的解析式为y₁=-x²+x+；
（2）作MN⊥AB，垂足为N。
由y₁=-x²+x+易得M（1，2），N（1，0），
A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，∠MBN=45°，
根据勾股定理有BM²-BN²=PM²-PN²，
∴（2）²-2²=PM²=-（1-x）²…①，
又∠MPQ=45°=∠MBP，
∴△MPQ~△MBP，
∴PM²=MQ×MB=y²×2…②，
由①、②得y₂=x²-x+，
∵0≤x<3，
∴y₂与x的函数关系式为y₂=x²-x+（0≤x<3）；
（3）四边形EFHG可以为平行四边形，
m、n之间的数量关系是m+n=2（0≤m≤2，且m≠1），
∵点E、G是抛物线y₁=-x²+x+分别与直线x=m，x=n的交点，
∴点E、G坐标为E（m，-m²+m+），G（n，-n²+n+），
同理，点F、H坐标为F（m，m²-m+），H（n，n²-n+），
∴EF=m²-m+-（-m²+m+）=m²-2m+1，
GH=n²-n+-（-n²+n+）=n²-2n+1，
∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH，
∴m²-2m+1=n²-2n+1，
∴（m+n-2）（m-n）=0，
由题意知m≠n，
∴m+n=2（0≤m≤2，且m≠1），
因此，四边形EFHG可以为平行四边形，
m、n之间的数量关系是m+n=2（0≤m≤2，且m≠1）。