如图：二次函数y=-x2+ax+b的图象与x轴交于A（-，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C。（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图：二次函数y=-x²+ax+b的图象与x轴交于A（-，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C。
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）根据题意，将A（-，0），B（2，0）代入y=-x²+ax+b中，
得，解这个方程，得a=，b=1，
∴该拋物线的解析式为y=-x²+x+1，
当x=0时，y=1，∴点C的坐标为（0，1），
∴在△AOC中，AC=，
在△BOC中，BC=，
AB=OA+OB=+2=，
∵AC²+BC²=+5==AB²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）点D的坐标为（，1）；
（3）存在。由（1）知，AC⊥BC。
①若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，
可求得直线BC的解析式为y=-x+1，直线AP可以看作是由直线BC平移得到的，
所以设直线AP的解析式为y=-x+b，
把点A（-，0）代入直线AP的解析式，求得b=-，
∴直线AP的解析式为y=-x-，
∵点P既在拋物线上，又在直线AP上，
∴点P的纵坐标相等，即-x²+x+1=-x-，
解得x₁=， x₂=-（舍去），
当x=时，y=-，
∴点P（，-），
②若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示，
可求得直线AC的解析式为y=2x+1，
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，
所以设直线BP的解析式为y=2x+b，
把点B（2，0）代入直线BP的解析式，求得b=-4，
∴直线BP的解析式为y=2x-4，
∵点P既在拋物线上，又在直线BP上，
∴点P的纵坐标相等，即-x²+x+1=2x-4，解得x₁=-，x₂=2（舍去），
当x=-时，y=-9，
∴点P的坐标为（-，-9），
综上所述，满足题目条件的点P为（，-）或（-，-9）。