如图，已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B。（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在

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如图，已知二次函数y=-x²+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B。

（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵二次函数

的图象与x轴的一个交点为A（4，0），
∴

，解得

，
∴此二次函数关系式为：

，
∴令x=0，得y=3，
∴点B的坐标为B（0，3）；
（2）在x轴的正半轴上存在点P（

，0），使得△PAB是以AB为底的等腰三角形，理由如下：
设点P（x，0），x＞0，使得BP=AP，
则根据右图和已知条件可得
x²+3²=（4-x）²，解得x=

，
∴点P的坐标为P（

，0），
即在x轴的正半轴上存在点P（

，0），使得△PAB是以AB为底的等腰三角形。

举一反三

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S。

（1）当t=1时，正方形EFGH的边长是____；当t=3时，正方形EFGH的边长是____；
（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

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如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，

）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由。

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如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动，Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动，作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F。
（1）求证：△PQE∽△PMF；
（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；
（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来。

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如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1-m）（m为常数）。
（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；
（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；
（3）当P移动到点（

，

）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标。

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如图所示，在平面直角坐标系O中xy，已知点A（-

，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C。
（1）求∠ACB的度数；
（2）已知抛物线线y=ax²+bx+3过A、B两点，求抛物线的解析式；
（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形，若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由。

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