如图,在平面直角坐标系中,OB⊥OA,且OB=2OA,点A的坐标是(-1,2)。(1)求点B的坐标;(2)求过点A、O、B的抛物线的表达式;(3)连接AB,在(

如图,在平面直角坐标系中,OB⊥OA,且OB=2OA,点A的坐标是(-1,2)。(1)求点B的坐标;(2)求过点A、O、B的抛物线的表达式;(3)连接AB,在(

题型:陕西省中考真题难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,OB⊥OA,且OB=2OA,点A的坐标是(-1,2)。
(1)求点B的坐标;
(2)求过点A、O、B的抛物线的表达式;
(3)连接AB,在(2)中的抛物线上求出点P,使得S△ABP=S△ABO
答案
解:(1)如图,过点A作A⊥x轴,垂足为点F,过点B作BE⊥x 轴,垂足为点E
则AF=2,OF=1,
∵OA⊥OB,
∴∠AOF+∠BOE=90°,
又∵∠BOE+∠OBE=90°,
∴∠AOF=∠OBE,
∴Rt△AFO∽Rt△OEB,

∴BE=2,OE=4,
∴B(4,2);
(2)设过点A(-1,2),B(4,2),0(0,0)的抛物线为y=ax2+bx,
解之,得
∴所求抛物线的表达式为
(3)由题意,知AB∥x轴,
设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d,
则S△ABP=,∴d=2,
∴点P的纵坐标只能是0或4,
令y=0,得,解之,得x=0,或x=3,
∴符合条件的点P1(0,0),P2(3,0),
令y=4,得,解之,得
∴符合条件的点P3
∴综上,符合题意的点有四个:P1(0,0),P2(3,0),
举一反三
如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似? 若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标。
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如图,二次函数y=x2+px+q(p<0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),△ABC的面积为
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与△ABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ACBD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。
题型:广东省中考真题难度:| 查看答案
已知:Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB),直角顶点在y 轴正半轴上(如图(1))。
(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式;
(2)如图(2),点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n>0),连接DP交BC于点E。
①当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标;
②又连接CD、CP(如图(3)),△CDP是否有最大面积?若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由。
题型:广东省中考真题难度:| 查看答案
某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65 元),设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元。
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为 2200元?根据以上的结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元?
题型:湖北省中考真题难度:| 查看答案
如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、E(3,0) 两点,与y轴交于点B(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给予证明;如果不相似,请说明理由。
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