已知:Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB),直角顶点在y 轴正半轴上(如图

已知:Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB),直角顶点在y 轴正半轴上(如图

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已知:Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB),直角顶点在y 轴正半轴上(如图(1))。
(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式;
(2)如图(2),点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n>0),连接DP交BC于点E。
①当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标;
②又连接CD、CP(如图(3)),△CDP是否有最大面积?若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由。
答案
解:(1)∵OC2=OA·OB,
∴OA·OB=4,
又∵OA+OB=5,且OA<OB,
解得,OA=1,OB=4,
∴A(-1,0),B(4,0),C(0,2),
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x-4),
把C点坐标代入得
;(2)①当△BDE为等腰三角形时,点E的坐标分别为
②存在,过点D作直线DM垂直于x轴交CP于点M,
可求得直线CP的解析式为:y=
(i)当点P在直线DM右侧时,如图(1)所示,
此时2<m<4,
把x=2代人直线CP的解析式

又P(m,n)在抛物线上,
所以
S △CDP= S△PDM +S△CDM

DM·2=·DM=m+n-2,

时,△CDP的面积最大,最大面积为
(ii)当点P在直线DM左侧时,如图(2)所示,此时0<m≤2,
S△CDP= S△CDM - S△DPM


当m=2时,S△CDP=3,
综上所述,当时△CDP的面积最大,其最大面积为,此时
举一反三
某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65 元),设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元。
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为 2200元?根据以上的结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元?
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如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、E(3,0) 两点,与y轴交于点B(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给予证明;如果不相似,请说明理由。
题型:贵州省中考真题难度:| 查看答案
如图,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B。
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标。
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某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召,投资开办了一个装饰品商店,该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售,购进价格为20元/件。销售结束后,得知日销售量P(件)与销售时间x(天)之间有如下关系:P=-2x+80(1≤x≤30,且x为整数);又知前20天的销售价格Q1(元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系:(1≤x≤20,且x为整数),后10天的销售价格Q2(元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系:Q2=45(21≤x≤30,且x为整数)。
(1)试写出该商店前20天的日销售利润R1(元)和后10天的日销售利润R2(元)分别与销售时间x(天)之间的函数关系式;
(2)请问在这30天的试销售中,哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润。
注:销售利润=销售收入-购进成本
题型:四川省中考真题难度:| 查看答案
如图,在直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,3),过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线l,D为对称轴l上一动点。
(1)求抛物线的解析式;
(2)求当AD+ CD最小时点D的坐标;
(3)以点A为圆心,以AD为半径作OA。
①证明:当AD+CD最小时,直线BD与⊙A相切;
②写出直线BD与⊙A相切时,D点的另一个坐标:______。
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