如图，二次函数y=x2+px+q（p<0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为。（1）求该二次函数的关系式；（2）过y

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如图，二次函数y=x²+px+q（p<0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由点C的坐标为（0，-1），得OC=1，
又∵△ABC的面积为，
∴，即，
由抛物线与y轴交于（0，-1），
得y=x²+px+g（p<0）中的q=-1，
则当y=0时，0=x²+px-1，设它的两个根为x₁、x₂，
则x₁+x₂=-p，x₁x₂=-1，且A、B两点的坐标为（x₁，0）、（x₂，0），
由直角坐标系上两点间的距离公式可得x₂-x₁=AB=，
∴，
∴x₁²+x₂²-2x₁x₂=，
∴x₁²+x₂²+2x₁x₂-4x₁x₂=，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=，即p²+4=，解得，
∵p<0，∴p=，
∴该抛物线的关系式为；

（2）设△ABC的外接圆交y轴于另一点D，如图
由得x₁=2，，
∴，
连接AD，
在△ABC的外接圆中，
∵，
∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∴，
∴DO=1，
∴CO=DO=1，
又∵AB⊥CD，
∴AB过△ABC外接圆的圆心，即AB为△ABC外接圆的直径，
∴△ABC外接圆的直径为，
∴直线与△ABC的外接圆相切，
∴；（3）存在
∵AB是△ABC外接圆的直径，
∴∠ACB=90°，这时抛物线上必有点D，且当AD∥BC或BD∥AC时使四边形ACBD为直角梯形，
当AD∥BC时，可求得直线BC的关系式为，
∴直线AD的关系式为，
则它与抛物线的交点坐标为，
此时点D的坐标为，
当BD∥AC时，可求直线AC的关系式为y=-2x-1，
∴直线BD的关系式为y=-2x+4，
则它与抛物线的交点坐标为，
此时点D的坐标为，
∴当点D在或的位置时，四边形ACBD为直角梯形。