如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上。（1）求m的值及这个二

题型：山东省模拟题难度：来源：

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上。
（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明。

答案

解：（1）∵点A（3，4）在直线y=x+m上，
∴4=3+m，
∴m=1，
设所求二次函数的关系式为y=a（x-1）²，
∵点A（3，4）在二次函数y=a（x-1）²的图象上，
∴4=a（3-1）²，
∴a=1，
∴所求二次函数的关系式为y=（x-1）²=x²-2x+1；
（2）设P、E两点的纵坐标分别为y_P和y_E，
∴PE=h=y_P-y_E=（x+1）-（x²-2x+1）=-x²+3x，
即h=-x²+3x（0＜x＜3）；
（3）存在；
要使四边形DCEP是平行四边形，必须有PE=DC，
∵点D在直线y=x+1上，
∴点D的坐标为（1，2），
∴-x²+3x=2，即x²-3x+2=0，解得x₁=2，x₂=1（不合题意，舍去），
∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形。