正方形ABCD的边长为4，P是BC上一动点，QP⊥AP交DC于Q，设PB=x，△ADQ的面积为y。（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2

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正方形ABCD的边长为4，P是BC上一动点，QP⊥AP交DC于Q，设PB=x，△ADQ的面积为y。
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）（1）中函数若是一次函数，求出直线与两坐标轴围成的三角形面积，若是二次函数，请利用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）画出这个函数的图象；
（4）点P是否存在这样的位置，使△APB的面积是△ADQ的面积的

，若存在，求出BP的长，若不存在，说明理由。

答案

解：（1）画出图形，设QC=z，由Rt△ABP~Rt△PCQ，

，

①
y=

×4×（4-z），②
把①代入②y=

x²-2x+8（0＜x＜4）；

（2）y=

x²-2x+8=

（x-2）²+6，
∴对称轴为x=2，顶点坐标为（2，6）；（3）如图所示：

（4）存在，由S_△APB=

S_△ADQ，可得y=3x，
∴

x²-2x+8=3x，
∴x=2，x=8（舍去），
∴当P为BC的中点时，△PAB的面积等于△ADQ的面积的

。

举一反三

已知二次函数的图象是经过点A（1，0），B（3，0），E（0，6）三点的一条抛物线。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，设抛物线的顶点为C，对称轴交x轴于点D，在y轴正半轴上有一点P，且以A、O、P为顶点的三角形与△ACD相似，求P点的坐标。

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已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连结AD、BD、BE。
（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形。
_____________________，______________________ ；
（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax²-2ax-3a（a<0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点。
①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________。
②求抛物线的解析式。
③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

图1 图2

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为了抵御金融风暴，广东某出口企业为了减少出口产品下降，调整策略，加大产品研发，设计适合国内外大众的产品，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：

（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）
（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

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如图，已知等腰Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=OB=2，E、F为斜边AB上的两个动点（E比F更靠近A），满足∠EOF=45°。
（1）求证：△AOF∽△BEO；
（2）求AF×BE的值；
（3）作EM⊥OA于M，FN⊥OB于N，求OM×ON的值；
（4）求线段EF长的最小值。（提示：必要时可以参考以下公式：当x＞0，y＞0时， x+y=

或x+

）。

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已知抛物线y=ax²+bx-4的图象与x 相交与A、B（点A在B的左边），与y轴相交与C，抛物线过点A（-1，0）且OB=OC，P是线段BC上的一个动点，过P作直线PE⊥x轴于E，交抛物线于F。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△BPE与△BPF的两面积之比为2∶3时，求E点的坐标；
（3）设OE=t，△CPE的面积为S，试求出S与t的函数关系式；当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；（4）在（3）中，当S取得最大值时，在抛物线上求点Q，使得△QEC是以EC为底边的等腰三角形，求Q的坐标。

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