已知:关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0。(1)求证:m取任何实数时,方程总有实数根;(2)若二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象
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已知:关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0。 (1)求证:m取任何实数时,方程总有实数根; (2)若二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称, ①求二次函数y的解析式; ②已知一次函数y2=2x-2,证明:在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立; (3)在(2)条件下,若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点(-5,0),且在实数范围内,对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2 均成立,求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式。 |
答案
解:(1)分两种情况: 当m=0时,原方程可化为3x-3=0,即x=1; ∴m=0时,原方程有实数根; 当m≠0时,原方程为关于x的一元二次方程, ∵△=[-3(m-1)]2-4m(2m-3)=m2-6m+9=(m-3)2≥0, ∴方程有两个实数根; 综上可知:m取任何实数时,方程总有实数根; (2)①∵关于x的二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称; ∴3(m-1)=0,即m=1; ∴抛物线的解析式为:y1=x2-1; ②∵y1-y2=x2-1-(2x-2)=(x-1)2≥0, ∴y1≥y2(当且仅当x=1时,等号成立); (3)由②知,当x=1时,y1=y2=0,即y1、y2的图象都经过(1,0); ∵对应x的同一个值,y1≥y3≥y2成立, ∴y3=ax2+bx+c的图象必经过(1,0), 又∵y3=ax2+bx+c经过(-5,0), ∴y3=a(x-1)(x+5)=ax2+4ax-5a; 设y=y3-y2=ax2+4ax-5a-(2x-2)=ax2+(4a-2)x+(2-5a); 对于x的同一个值,这三个函数对应的函数值y1≥y3≥y2成立, ∴y3-y2≥0, ∴y=ax2+(4a-2)x+(2-5a)≥0; 根据y1、y2的图象知:a>0, ∴y最小=≥0 ∴(4a-2)2-4a(2-5a)≤0, ∴(3a-1)2≤0, 而(3a-1)2≥0,只有3a-1=0,解得a=, ∴抛物线的解析式为:y3=x2+x-。 | |
举一反三
长方形的周长是18,它的面积S与其一边长a的函数关系式是( ),其中自变量a的取值范围是( )。 |
长方形的周长为24cm,其中一边为x(其中x>0),面积为ycm2,则这样的长方形中y与x的关系可以写为 |
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A.y=x2 B.y=(12-x)2 C.y=(12-x)x D.y=2(12-x)x |
自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h=4.9t2,现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落,到达地面需要的时间是( )秒。 |
在数学活动课上,同学们用一根长为1米的细绳围矩形。 (1)小芳围出了一个面积为600㎝2的矩形,请你算一算,她围成的矩形的边长是多少? (2)小华想用这根细绳围成一个面积尽可能大的矩形,请你用所学过的知识帮他分析应该怎么围,并求出最大面积。 |
已知,抛物线y=ax2+bx-2与x轴的两个交点分别为A(1,0),B(4,0),与y轴的交点为C。 |
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(1)求出抛物线的解析式及点C的坐标; (2)点P是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OCB相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由。 |
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