如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线交x轴于点E．在线段的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线

题型：浙江省月考题难度：来源：

如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线交x轴于点E．在线段的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）过点B作x轴的垂线，交直线于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

答案

（1）设抛物线解析式为，
把代入得．
，
顶点
（2）假设满足条件的点P存在，依题意设，
由求得直线CD的解析式为，
它与x轴的夹角为，设的中垂线交于H，则．
则，点P到的距离为．
又．

平方并整理得：．

∴存在满足条件的点P，的坐标为．
（3）由上求得．
①若抛物线向上平移，可设解析式为．
当时，．
当时，．
或．
． 
②若抛物线向下移，可设解析式为．
由，有．
，．
∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．