如图已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点坐标为，B点在y轴上，直线与x轴的交点为F．P为线

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如图已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点坐标为

，B点在y轴上，直线与x轴的交点为F．P为线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点．

（1）求k，m的值及这个二次函数的解析式；
（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在点P，使得以点P，E，D为顶点的三角形与△BOF相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）设抛物线解析式为

在抛物线上

二次函数解析式为：

令x=0得：y=2 即点

在

上

把

代入

得

；
（2）

；
（3）假设存在点P，①当

时，由题意可得

则

而

，存在点P，其坐标为

；
②当

时，
过点E作EK垂直于抛物线的对称轴，垂足为K；由题意可得：

则

综上所述存在点P满足条件，其坐标为

，

举一反三

有一个截面边缘为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m。如图把它的截面边缘的图形放在所示的直角坐标系中。

（1）直接写出抛物线的顶点坐标；
（2）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（3）如图，在对称轴右边2m处，桥洞离水面的高是多少？

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如图，抛物线

与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后，再沿x轴对折得到 △BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q，问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为
1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。

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如图，等边△ABC边长为4，E是边BC上动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE=EB。设

。

（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；
（2） Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时,求 □EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；
（3）当（2）中的□EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时□EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围。

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已知直线l：y=-x+m（m≠0）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将△ACM绕点M 旋转180°，得到△FEM，则点E在y轴上, 点F在直线l上；取线段EO中点N,将ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点.记：过点F的双曲线为C₁，过点M且以B为顶点的抛物线为C₂，过点P且以M 为顶点的抛物线为C₃.

（1）如图，当m=6时，①直接写出点M、F的坐标， ②求C₁、C₂的函数解析式；
（2）当m发生变化时， ①在C₁的每一支上，y随x的增大如何变化？请说明理由。
②若C₂、C₃中的y都随着x的增大而减小，写出x的取值范围。

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二次函数

的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，点A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₀₈在y轴的正半轴上，点B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₀₈ 在二次函数

位于第一象限的图象上，若△

，△

，…，△

都为等边三角形，则△

的边长= （）。

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