如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A(1,0)、 B(5,0)两点. (1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点D,

如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A(1,0)、 B(5,0)两点. (1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点D,

题型:福建省中考真题难度:来源:
如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A(1,0)、 B(5,0)两点.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点D,将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转,角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q,设旋转角为α().
①当α等于多少度时,△CPQ是等腰三角形?
②设,求s与t之间的函数关系式.
答案

(1)根据题意,得 解得
     =
   ∴顶点C的坐标为(3,2);
(2)①∵CD=DB=AD=2,CD⊥AB, ∴∠DCB=∠CBD=45°. 
           ⅰ)若CQ=CP,则∠PCD=∠PCQ=22.5°. 
                ∴当α=22.5°时,△CPQ是等腰三角形.
        ⅱ)若CQ=PQ,则∠CPQ=∠PCQ=45°,此时点Q与D重合,点P与A重合.
               ∴当α=45°时, △CPQ是等腰三角形
          ⅲ)若PC=PQ, ∠PCQ=∠PQC=45°,此时点Q与B重合,点P与D重合.
           ∴α=0°,不合题意.
        ∴当α=22.5°或45°时,△CPQ是等腰三角形.
②连接AC,∵AD=CD=2,CD⊥AB, 
  ∴∠ACD=∠CAD=, AC= BC=
   ⅰ)当时,
       ∵∠ACQ=∠ACP+∠PCQ=∠ACP+45°. ∠BPC=∠ACP+∠CAD=∠ACP+45°.
       ∴∠ACQ=∠BPC. 
      又∵∠CAQ=∠PBC=45°, ∴△ACQ∽△BPC. 
   ∴AQ·BP=AC·BC=×=8
   ⅱ)当时,同理可得AQ·BP=AC·BC=8
         ∴

举一反三
抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是
[     ]
A.
B.
C.
D.
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二次函数的图象关于原点O(0, 0)对称的图象的解析式是(        )。
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已知抛物线与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两点,且与y轴交于点C(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴方程和顶点M坐标;
(3)求四边形ABMC的面积。
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凯里市某大型酒店有包房100间,在每天晚餐营业时间,每间包房收包房费100元时,包房便可全部租出。若每间包房收费提高20元,则减少10间包房租出;若每间包房收费再提高20元,则再减少10间包房租出。以每次提高20元的这种方法变化下去。
(1)设每间包房收费提高x(元),则每间包房的收入为y1(元),但会减少y2间包房租出,请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式;
 (2)为了投资少而利润大,每间包房提高x(元)后,设酒店老板每天晚餐包房总收入为y(元),请写出y与x之间的函数关系式,求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入,并说明理由。
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已知二次函数。(1)求证:不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点;
(2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式;
(3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为,若存在求出P点坐标,若不存在请说明理由。
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