已知二次函数。(1)求证:不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点; (2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式;
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已知二次函数。(1)求证:不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点; (2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式;
题型:贵州省中考真题
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来源:
已知二次函数
。
(1)求证:不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点;
(2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为
时,求出此二次函数的解析式;
(3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为
,若存在求出P点坐标,若不存在请说明理由。
答案
解:(1)因为△=
,
所以不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点。
(2) 设x
1
、x
2
是
的两个根,
则
,
,
因为两交点的距离是
,
所以
,
即:
,
变形为:
,
∴
,
整理,得
,
解得,
,
又因为
,
所以
,
所以:此二次函数的解析式为
。
(3)设点P的坐标为
,因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于
,
所以:AB=
,
所以,S
△PAB
=
,
所以,
,
即
,则
,
①当
时,
,即
,
解得,
=-2或3,
②当
时,
,即
,
解得,
=0或1,
综上所述,所以存在这样的P点,P点坐标是(-2,3),(3,3),((0, -3)或(1, -3)。
举一反三
如图已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,1),直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A,B两点,其中A点坐标为
,B点在y轴上,直线与x轴的交点为F.P为线段AB上的一个动点(点P与A,B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点.
(1)求k,m的值及这个二次函数的解析式;
(2)设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在点P,使得以点P,E,D为顶点的三角形与△BOF相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:内蒙古自治区中考真题
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有一个截面边缘为抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为10m。如图把它的截面边缘的图形放在所示的直角坐标系中。
(1)直接写出抛物线的顶点坐标;
(2)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(3)如图,在对称轴右边2m处,桥洞离水面的高是多少?
题型:福建省中考真题
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如图,抛物线
与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,四边形OBHC为矩形,CH的延长线交抛物线于点D(5,2),连结BC、AD
(1)求C点的坐标及抛物线的解析式;
(2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后,再沿x轴对折得到 △BEF(点C与点E对应),判断点E是否落在抛物线上,并说明理由;
(3)设过点E的直线交AB边于点P,交CD边于点Q,问是否存在点P,使直线PQ分梯形ABCD的面积为
1∶3两部分?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由。
题型:福建省中考真题
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如图,等边△ABC边长为4,E是边BC上动点,EH⊥AC于H,过E作EF∥AC,交线段AB于点F,在线段AC上取点P,使PE=EB。设
。
(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段(不再另外添加辅助线);
(2) Q是线段AC上的动点,当四边形EFPQ是平行四边形时,求
□
EFPQ的面积(用含x的代数式表示);
(3) 当(2)中 的
□
EFPQ面积最大值时,以E为圆心,r为半径作圆,根据⊙E与此时
□
EFPQ四条边交点的总个数,求相应的r的取值范围。
题型:福建省中考真题
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已知直线
l
:y=-x+m(m≠0)交x轴、y轴于A、B两点,点C、M分别在线段OA、AB上,且OC=2CA,AM=2MB,连接MC,将△ACM绕点M 旋转180°,得到△FEM,则点E在y轴上, 点F在直线
l
上;取线段EO中点N,将ACM沿MN所在直线翻折,得到△PMG,其中P与A为对称点.记:过点F的双曲线为C
1
,过点M且以B为顶点的抛物线为C
2
,过点P且以M 为顶点的抛物线为C
3
.
(1) 如图,当m=6时,①直接写出点M、F的坐标, ②求C
1
、C
2
的函数解析式;
(2)当m发生变化时, ①在C
1
的每一支上,y随x的增大如何变化?请说明理由。
②若C
2
、C
3
中的y都随着x的增大而减小,写出x的取值范围。
题型:福建省中考真题
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