已知：如图，抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为(1，0)，OC=3·BO。 （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段A

题型：北京期末题难度：来源：

已知：如图，抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为(1，0)，OC=3·BO。
 （1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

（1）抛物线的解析式为；
（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N
          在中，令y=0，得方程 
         
         解这个方程，得
        ∴A（4，0）设直线AC的解析式为y=kx+b 
        解这个方程组，得
        
          ∵ 
                            
        设，
        
        当x=-2时，DM有最大值3 
        此时四边形ABCD面积有最大值
（3）①过点C作CP₁∥x轴交抛物线于点P₁，过点P₁作P₁E₁∥AC交x轴于点E₁，
           此时四边形ACP₁E₁为平行四边形， 
         ∵C(0，-3)    ∴设P₁（x，-3） 
        ∴
         解得
          ∴
       ②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，
             当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
             ∵C(0，-3)       ∴设P（x，3）， 
            ∴  ∴
        解得或
       
   综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是