已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率e=12.(I)若点F在直线l:x-y+1=0上,求椭圆E的方程;(II)若0<

已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率e=12.(I)若点F在直线l:x-y+1=0上,求椭圆E的方程;(II)若0<

题型:宁德模拟难度:来源:
已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率e=
1
2

(I)若点F在直线l:x-y+1=0上,求椭圆E的方程;
(II)若0<a<1,试探究椭圆E上是否存在点P,使得


PF


PA
=1
?若存在,求出点P的个数;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)∵F(-c,0)在直线l:x-y+1=0上,
∴-c+1=0,即c=1,
e=
c
a
=
1
2
,∴a=2c=2,
∴b=


a2-c2
=


22-12
=


3

从而椭圆E的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)由e=
c
a
=
1
2
,得c=
1
2
a

b=


a2-c2
=


a2-
a2
4
=


3
a
2

椭圆E的方程为
x2
a2
+
4y2
3a2
=1
,其左焦点为F(-
1
2
a,0)
,右顶点为A(a,0),
假设椭圆E上存在点P(x0,y0)(-a≤x0≤a),使得


PF


PA
=1

∵点P(x0,y0)在椭圆上,∴y02=-
3
4
x02+
3
4
a2



PF


PA
=(-
1
2
a-x0,-y0)•(a-x0-y0)

=(-
1
2
a-x0)(a-x0)+y02

=-
1
2
a2-
1
2
ax0+x02-
3
4
x02+
3
4
a2

=
1
4
(x0-a)2
=1.
解得:x0=a±2,
∵0<a<1,∴
x0=a±2∉[-a,a],
故不存在点P,使得


PF


PA
=1
举一反三
已知椭圆Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)过点A(0,2),离心率为


2
2
,过点A的直线l与椭圆交于另一点M.
(I)求椭圆Γ的方程;
(II)是否存在直线l,使得以AM为直径的圆C,经过椭圆Γ的右焦点F且与直线 x-2y-2=0相切?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
题型:宁德模拟难度:| 查看答案
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F1(-1,0),且椭圆C的离心率e=
1
2

(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的上下顶点分别为A1,A2,Q是椭圆C上异于A1,A2的任一点,直线QA1,QA2分别交x轴于点S,T,证明:|OS|•|OT|为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆O:x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
题型:东莞一模难度:| 查看答案
已知椭圆C1的中心在坐标原点,两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点A(2,3)在椭圆C1上,过点A的直线L与抛物线C2x2=4y交于B、C两点,抛物线C2在点B,C处的切线分别为l1,l2,且l1与l2交于点P.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由.
题型:广州一模难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0),且点(-3,
3


2
2
)在椭圆C上,则椭圆C的标准方程为______.
题型:婺城区模拟难度:| 查看答案
已知直线l:y=x+


6
,圆O:x2+y2=5,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率e=


3
3
,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A,B两点.
(1)若


AF
=2


FB
求直线l的方程;
(2)若动点P满足


OP
=


OA
+


OB
,问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:临沂三模难度:| 查看答案
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