已知椭圆C1的中心在坐标原点,两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点A(2,3)在椭圆C1上,过点A的直线L与抛物线C2:x2=4y交于B、C两点,
题型:广州一模难度:来源:
已知椭圆C1的中心在坐标原点,两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点A(2,3)在椭圆C1上,过点A的直线L与抛物线C2:x2=4y交于B、C两点,抛物线C2在点B,C处的切线分别为l1,l2,且l1与l2交于点P. (1)求椭圆C1的方程; (2)是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由. |
答案
(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0), 由题意可得解得. ∴椭圆C1的方程为+=1; (2)设点B(x1,),C(x2,),则=(x2-x1,(-)),=(2-x1,3-), ∵A,B,C三点共线,∴∥. ∴(x2-x1)(3-)=(-)(2-x1),化为2(x1+x2)-x1x2=12.① 由x2=4y,得y′=x.∴抛物线C2在点B处的切线方程为y-=(x-x1),化为y=x-.② 同理抛物线C2在点B处的切线方程为y=x-.③ 设点P(x,y),由②③得x-=-,而x1≠x2,∴x=(x1+x2). 代人②得y=x1x2,于是2x=x1+x2,4y=x1x2代人①得4x-4y=12,即点P的轨迹方程为y=x-3. 若|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|,则点P在椭圆C1上,而点P又在直线y=x-3上,直线经过椭圆C1的内部一点(3,0), ∴直线y=x-3与椭圆C1有两个交点, ∴满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P有两个(不同于点A). |
举一反三
已知椭圆C:+=1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0),且点(-3,)在椭圆C上,则椭圆C的标准方程为______. |
已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A,B两点. (1)若=2求直线l的方程; (2)若动点P满足=+,问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,2 | 3 | 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(, 1).直线y=x+m交椭圆C于B,D(不与点A重合)两点. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)△ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由. | 已知椭圆:+=l(a>b>0)的一个顶点坐标为B(0,1),若该椭圆的离心率等于. (1)求椭圆的方程. (2)Q是椭圆上位于x轴下方的一点,F1F2分别是椭圆的左、右焦点,直线QF1的倾斜角为,求△QF1F2的面积; (3)以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,判断这样的三角形存在吗?若存在,有几个?若不存在,请说明理由. |
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