已知椭圆:x2a2+y2b2=l(a>b>0)的一个顶点坐标为B(0,1),若该椭圆的离心率等于32.(1)求椭圆的方程.(2)Q是椭圆上位于x轴下方的一点,F
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已知椭圆:x2a2+y2b2=l(a>b>0)的一个顶点坐标为B(0,1),若该椭圆的离心率等于32.(1)求椭圆的方程.(2)Q是椭圆上位于x轴下方的一点,F
题型:红桥区二模
难度:
来源:
已知椭圆:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=l(a>b>0)的一个顶点坐标为B(0,1),若该椭圆的离心率等于
3
2
.
(1)求椭圆的方程.
(2)Q是椭圆上位于x轴下方的一点,F
1
F
2
分别是椭圆的左、右焦点,直线QF
1
的倾斜角为
π
6
,求△QF
1
F
2
的面积;
(3)以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,判断这样的三角形存在吗?若存在,有几个?若不存在,请说明理由.
答案
(1)依题意,b=1,因为离心率等于
3
2
,
所以
c
2
a
2
=
a
2
-
b
2
a
2
=1-
1
a
2
=
3
4
,解得a
2
=4,
所以椭圆方程为:
x
2
4
+
y
2
=1
;
(2)F
1
(-
3
,0),直线QF
1
:y=
3
3
(x+
3
)
,代入
x
2
4
+
y
2
=1
中,
得
x
Q
=-
8
3
7
,
y
Q
=-
1
7
,又
|
F
1
F
2
|=2
3
,
所以
S
△Q
F
1
F
2
=
1
2
|
F
1
F
2
||
y
Q
|
=
3
7
;
(3)假设这样的三角形存在,设AB的方程为y=kx+1(k>0),则BC的方程为y=-
1
k
x+1,
由
y=kx+1
x
2
+4
y
2
=4
,得(4k
2
+1)x
2
+8kx=0,解得
x
A
=-
8k
1+4
k
2
①,
由
y=-
1
k
x+1
x
2
+4
y
2
=4
,得(k
2
+4)x
2
-8kx=0,解得
x
C
=-
8k
4+
k
2
②,
因为|AB|=|BC|,得:
x
A
2
+(
y
A
-1
)
2
=
x
C
2
+(
y
C
-1
)
2
,
将y
A
=kx
A
+1,
y
C
=-
1
k
x
C
+1
代入得:
x
A
2
(1+
k
2
)=
x
C
2
(1+
1
k
2
)
,
k
2
x
A
2
=
x
C
2
,
将①②代入得:k
2
(4+k
2
)
2
=(4k
2
+1)
2
,即[k(4+k
2
)+1+4k
2
][k(4+k
2
)-(1+4k
2
)]=0,
因为k>0,k(4+k
2
)+1+4k
2
>0,得(k-1)(k
2
-3k+1)=0,
解得k=1,k=
3+
5
2
,k=
3-
5
2
,
所以存在这样的等腰直角三角形.
举一反三
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的焦点坐标为
(±
2
, 0)
,离心率为
6
3
.直线y=kx+2交椭圆于P,Q两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在实数k,使得以PQ为直径的圆过点D(-1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
题型:房山区二模
难度:
|
查看答案
已知椭圆
E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,点M是椭圆上的任意一点,且|PF
1
|+|PF
2
|=4,椭圆的离心率
e=
1
2
.
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆E的左焦点F
1
作直线l交椭圆于P、Q两点,点A为椭圆右顶点,能否存在这样的直线,使
AP
•
AQ
=3
,若存在,求出直线方程,若不存在,说明理由.
题型:泰安二模
难度:
|
查看答案
已知椭C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F
1
,F
2
为顶点的三角形周长是4+2
3
,且∠BF
1
F
2
=
π
6
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点Q(1,
1
2
)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分,求弦AB所在的直线方程.
题型:崇明县二模
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
6
3
且过点(0,1).
(I)求此椭圆的方程;
(II)已知定点E(-1,0),直线y=kx+2与此椭圆交于C、D两点.是否存在实数k,使得以线段CD为直径的圆过E点.如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
题型:昌平区二模
难度:
|
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设点F
1
(-c,0),F
2
(c,0)分别是椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
=1(a>1)
的左、右焦点,P为椭圆C上任意一点,且
P
F
1
•
P
F
2
最小值为0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设定点D(m,0),已知过点F
2
且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,满足|AD|=|BD|,求m的取值范围.
题型:闸北区一模
难度:
|
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