已知椭C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2为顶点的三角形周长是4+23,且∠BF1F2=π6.(1)求椭圆C的标
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已知椭C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2为顶点的三角形周长是4+23,且∠BF1F2=π6.(1)求椭圆C的标
题型:崇明县二模
难度:
来源:
已知椭C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F
1
,F
2
为顶点的三角形周长是4+2
3
,且∠BF
1
F
2
=
π
6
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点Q(1,
1
2
)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分,求弦AB所在的直线方程.
答案
(1)∵以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F
1
,F
2
为顶点的三角形周长是4+2
3
,且∠BF
1
F
2
=
π
6
.
∴2a+2c=4+2
3
,
3
2
a=c
,
∴a=2,c=
3
∴
b=
a
2
-
c
2
=1
∴椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
=1
.
(2)当直线l的斜率不存在时,过点Q(1,
1
2
)引曲线C的弦AB不被点Q平分;
当直线l的斜率为k时,l:y-
1
2
=k(x-1)与椭圆方程联立,消元可得(1+4k
2
)x
2
-4k(2k-1)x+(1-2k)
2
-4=0
∵过点Q(1,
1
2
)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分,
∴
4k(2k-1)
1+4
k
2
=2
,
∴解得k=-
1
2
.
∵
1
4
+
1
4
<1
∴点Q在椭圆内
∴直线l:y-
1
2
=-
1
2
(x-1),即l:y=-
1
2
x+1.
举一反三
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
6
3
且过点(0,1).
(I)求此椭圆的方程;
(II)已知定点E(-1,0),直线y=kx+2与此椭圆交于C、D两点.是否存在实数k,使得以线段CD为直径的圆过E点.如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
题型:昌平区二模
难度:
|
查看答案
设点F
1
(-c,0),F
2
(c,0)分别是椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
=1(a>1)
的左、右焦点,P为椭圆C上任意一点,且
P
F
1
•
P
F
2
最小值为0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设定点D(m,0),已知过点F
2
且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,满足|AD|=|BD|,求m的取值范围.
题型:闸北区一模
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
x
2
m
+
y
2
8-m
=1.
(1)若椭圆C的焦点在x轴上,求实数m的取值范围;
(2)若m=6,
①P是椭圆C上的动点,M点的坐标为(1,0),求PM的最小值及对应的点P的坐标;
②过椭圆C的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆C于A,B两点,线段AB的垂直平分线l交x轴于点N,证明:
AB
FN
是定值,并求出这个定值.
题型:盐城三模
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右焦点为F(1,0),短轴的端点分别为B
1
,B
2
,且
F
B
1
•
F
B
2
=-a.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点F且斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于M,N两点,弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D.设弦MN的中点为P,试求
|DP|
|MN|
的取值范围.
题型:朝阳区二模
难度:
|
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设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为A(0,2),右焦点F与点
B(
2
,
2
)
的距离为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在经过点(0,-3)的直线l,使直线l与椭圆相交于不同的两点M,N满足
|
AM
|=|
AN
|
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
题型:河池模拟
难度:
|
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