已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63且过点(0,1).(I)求此椭圆的方程;(II)已知定点E(-1,0),直线y=kx+2与此椭圆交于C
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63且过点(0,1).(I)求此椭圆的方程;(II)已知定点E(-1,0),直线y=kx+2与此椭圆交于C
题型:昌平区二模
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
6
3
且过点(0,1).
(I)求此椭圆的方程;
(II)已知定点E(-1,0),直线y=kx+2与此椭圆交于C、D两点.是否存在实数k,使得以线段CD为直径的圆过E点.如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
答案
(I)根据题意,
c
a
=
6
3
a
2
=
b
2
+
c
2
b=1
,解得
a
2
=3
b
2
=1
c
2
=2
.
∴椭圆方程为
x
2
3
+
y
2
=1
.
(II)将y=kx+2代入椭圆方程,得(1+3k
2
)x
2
+12kx+9=0,
由直线与椭圆有两个交点,∴△=(12k)
2
-36(1+3k
2
)>0,解得k
2
>1.(*)
设C(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
),则
x
1
+
x
2
=
-12k
1+3
k
2
,
x
1
x
2
=
9
1+3
k
2
,(**)
若以CD为直径的圆过E点,则
EC
•
ED
=0
,即(x
1
+1)(x
2
+1)+y
1
y
2
=0,
而y
1
y
2
=(kx
1
+2)(kx
2
+2)=k
2
x
1
x
2
+2k(x
1
+x
2
)+4,代入上式得
(
x
1
+1)(
x
2
+1)+
k
2
x
1
x
2
+2k(
x
1
+
x
2
)+4=0
,
化为(k
2
+1)x
1
x
2
+(2k+1)(x
1
+x
2
)+5=0.
把(**)代入上式得
9
k
2
1+3
k
2
-
12k(2k+1)
1+3
k
2
+5=0
解得
k=
7
6
,满足k
2
>1.
所以存在
k=
7
6
使得以线段CD为直径的圆过E点.
举一反三
设点F
1
(-c,0),F
2
(c,0)分别是椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
=1(a>1)
的左、右焦点,P为椭圆C上任意一点,且
P
F
1
•
P
F
2
最小值为0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设定点D(m,0),已知过点F
2
且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,满足|AD|=|BD|,求m的取值范围.
题型:闸北区一模
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
x
2
m
+
y
2
8-m
=1.
(1)若椭圆C的焦点在x轴上,求实数m的取值范围;
(2)若m=6,
①P是椭圆C上的动点,M点的坐标为(1,0),求PM的最小值及对应的点P的坐标;
②过椭圆C的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆C于A,B两点,线段AB的垂直平分线l交x轴于点N,证明:
AB
FN
是定值,并求出这个定值.
题型:盐城三模
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右焦点为F(1,0),短轴的端点分别为B
1
,B
2
,且
F
B
1
•
F
B
2
=-a.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点F且斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于M,N两点,弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D.设弦MN的中点为P,试求
|DP|
|MN|
的取值范围.
题型:朝阳区二模
难度:
|
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设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为A(0,2),右焦点F与点
B(
2
,
2
)
的距离为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在经过点(0,-3)的直线l,使直线l与椭圆相交于不同的两点M,N满足
|
AM
|=|
AN
|
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
题型:河池模拟
难度:
|
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已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过P(2,
2
),直线l:y=kx+m(k≠0)交椭圆C于不同的两点A,B.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在实数k,使线段AB的垂直平分线经过点Q(0,3)?若存在求出 k的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:丰台区一模
难度:
|
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