已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过P(2,2),直线l:y=kx+m(k≠0)交椭圆C于不同的两点A,B.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)是否存在
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已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过P(2,2),直线l:y=kx+m(k≠0)交椭圆C于不同的两点A,B.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)是否存在
题型:丰台区一模
难度:
来源:
已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过P(2,
2
),直线l:y=kx+m(k≠0)交椭圆C于不同的两点A,B.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在实数k,使线段AB的垂直平分线经过点Q(0,3)?若存在求出 k的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)设椭圆C的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),
∵c=2,且椭圆过点P(2,
2
),所以
a
2
-
b
2
=4
4
a
2
+
2
b
2
=1
,解得a
2
=8,b
2
=4,
所以椭圆C的方程为
x
2
8
+
y
2
4
=1
;
(Ⅱ)假设存在斜率为k的直线,其垂直平分线经过点Q(0,3),
设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),AB的中点为N(x
0
,y
0
),
由
x
2
8
+
y
2
4
=1
y=kx+m
,得(1+2k
2
)x
2
+4mkx+2m
2
-8=0,
则△=16m
2
k
2
-4(1+2k
2
)(2m
2
-8)=64k
2
-8m
2
+32>0,所以8k
2
-m
2
+4>0,
又
x
1
+
x
2
=-
4mk
1+2
k
2
,∴
x
0
=
x
1
+
x
2
2
=-
2mk
1+2
k
2
,
y
0
=k
x
0
+m=
m
1+2
k
2
,
∵线段AB的垂直平分线过点Q(0,3),∴k
NQ
•k=-1,即
y
0
-3
x
0
•k=-1
,∴-m=3+6k
2
,
代入△>0整理,得36k
4
+28k
2
+5<0,此式显然不成立.
∴不存在满足题意的k的值.
举一反三
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),C的右焦点F(1,0),长轴的左、右端点分别为A
1
,A
2
,且
.
F
A
1
•
F
A
2
=-1
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过焦点F斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于A,B两点,弦AB的垂直平分线与x轴相交于点D.试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形?若存在,试求点E到y轴的距离;若不存在,请说明理由.
题型:朝阳区二模
难度:
|
查看答案
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
3
,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆O相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C与曲线|y|=kx(k>0)的交点为A、B,求△OAB面积的最大值.
题型:滨州一模
难度:
|
查看答案
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为
1
2
,它的一个顶点恰好是抛物线x
2
=4
3
y
的焦点.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点,设P(-4,0),连接PA交椭圆C于另一点E,求证:直线BE与x轴相交于定点M;
(III)设O为坐标原点,在(II)的条件下,过点M的直线交椭圆C于S、T两点,求
OS
•
OT
的取值范围.
题型:和平区一模
难度:
|
查看答案
设椭圆的中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,一个顶点为A(0,2),右焦点F到点
B(
2
,
2
)
的距离为2.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设经过点(0,-3)的直线l与椭圆相交于不同两点M,N满足
|
AM
|=|
AN
|
,试求直线l的方程.
题型:天津一模
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F
1
和F
2
,由4个点M(-a,b)、N(a,b)、F
2
和F
1
组成了一个高为
3
,面积为3
3
的等腰梯形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点F
1
的直线和椭圆交于两点A、B,求△F
2
AB面积的最大值.
题型:济南一模
难度:
|
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