已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆O相切.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆O相切.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭
题型:滨州一模
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
3
,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆O相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C与曲线|y|=kx(k>0)的交点为A、B,求△OAB面积的最大值.
答案
(Ⅰ)由题设可知,圆O的方程为x
2
+y
2
=b
2
,
因为直线l:x-y+2=0与圆O相切,故有
|2|
1
2
+(-1
)
2
=b,
所以b=
2
,已知
e=
c
a
=
3
3
,
所以有a
2
=3c
2
=3(a
2
-b
2
),
解得a
2
=3,
所以椭圆C的方程为
x
2
3
+
y
2
2
=1
.
(Ⅱ)设点A(x
0
,y
0
),(x
0
>0,y
0
>0),则y
0
=kx
0
,
设AB交x轴于点D,由对称性知:
S
△OAB
=2S
△OAD
=2×
1
2
x
0
y
0
=
k
x
0
2
,
由
y
0
=k
x
0
x
0
2
3
+
y
0
2
2
=1
,解得
x
0
2
=
6
2+3
k
2
,
所以S
△OAB
=k
•
6
2+3
k
2
=
6
2
k
+3k
≤
6
2
2
k
•3k
=
6
2
,
当且仅当
2
k
=3k
,即k=
6
2
时取等号,
所以△OAB面积的最大值为
6
2
.
举一反三
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为
1
2
,它的一个顶点恰好是抛物线x
2
=4
3
y
的焦点.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点,设P(-4,0),连接PA交椭圆C于另一点E,求证:直线BE与x轴相交于定点M;
(III)设O为坐标原点,在(II)的条件下,过点M的直线交椭圆C于S、T两点,求
OS
•
OT
的取值范围.
题型:和平区一模
难度:
|
查看答案
设椭圆的中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,一个顶点为A(0,2),右焦点F到点
B(
2
,
2
)
的距离为2.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设经过点(0,-3)的直线l与椭圆相交于不同两点M,N满足
|
AM
|=|
AN
|
,试求直线l的方程.
题型:天津一模
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F
1
和F
2
,由4个点M(-a,b)、N(a,b)、F
2
和F
1
组成了一个高为
3
,面积为3
3
的等腰梯形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点F
1
的直线和椭圆交于两点A、B,求△F
2
AB面积的最大值.
题型:济南一模
难度:
|
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焦点分别为F
1
,F
2
的椭圆
C
2
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
过点M(2,1),抛物线
y
2
=4
3x
的准线过椭圆C的左焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)不过M的动直线l交椭圆C于A、B两点,若
MA
•
MB
=0,求证:直线l恒过定点,并求出该定点的坐标.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
2
2
,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为2
2
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点(2,0)的直线l的与椭圆C交于A、B两点,O为坐标原点,当∠AOB为锐角时,求直线l的斜率k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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