(Ⅰ)由2p=4,∴p=2,∴抛物线y2=4的准线方程为x=-. 故F1(-,0),F2(,0), ∴椭圆方程可化为+=1,又椭圆过点M(2,1), ∴+=1,则a4-8a2+12=0, ∵a2>3,解得:a2=6. ∴所求椭圆的方程为+=1. (Ⅱ)证明:①若直线l⊥x轴,直线l可设为x=m(m≠2),则直线l与椭圆交于 A(m,),B(m,-), 由•=0,得(m-2)2+(1-)(1+)=0, 即3m2-8m+4=0. 解得:m=2(舍)或m=, 故直线l的方程为x=. ②若直线l与x轴不垂直,可设直线l的方程为y=kx+n. 直线l与椭圆+=1交于A(x1,y1),B(x2,y2). 由⇒(1+2k2)x2+4knx+2n2-6=0. 由△>0,得:(4kn)2-4(1+2k2)(2n2-6)>0,即6k2-n2+3>0. 由根与系数关系得:x1+x2=-,x1•x2=. 由•=0得:(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0, 即x1x2-2(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+5=0, 又y1=kx1+n,y2=kx2+n, 故(1+k2)x1x2+(kn-k-2)(x1+x2)+n2-2n+5=0, 即(1+k2)•-(kn-k-2)•+n2-2n+5=0. ∴4k2+8kn+(3n+1)(n-1)=0,即(2k+3n+1)(2k+n-1)=0. ∴n=-k-或n=-2k+1. 而n=-k-或n=-2k+1满足△>0. ∴直线l为y=kx-k-=k(x-)-或y=kx-2k+1=k(x-2)+1. 由于直线l不过M,∴直线y=kx-2k+1=k(x-2)+1不合题意. ∴直线l为y=k(x-)-. 综合①②,直线l为为y=k(x-)-或x=. 故直线l恒过定点(,-). |