已知椭圆G经过点P(3，12)，且一个焦点为(-3，0)．过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）将|AB|表

题型：不详难度：来源：

已知椭圆G经过点P(

，

)，且一个焦点为(-

，0)．过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆G于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

答案

（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为

=1(a＞b＞0)
∵椭圆G经过点P(

，

)，且一个焦点为(-

，0)．
∴

4b2

=1，a²-b²=3
∴a²=4，b²=1
∴椭圆G的方程为

+y2=1；
（Ⅱ）由题意知，|m|≥1
当m=±1时，切线l的方程为x=±1，此时|AB|=

；
当|m|＞1时，设l为y=k（x-m），代入椭圆方程可得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x₁x₂=

4k2m2-4

1+4k2

∵l与圆x²+y²=1相切，∴

|km|

k2+1

=1，即m²k²=k²+1
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

|m|

m2+3

|m|+

|m|

≤2（当且仅当m=±

时取等号）
∴|AB|的最大值为2．

举一反三

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为

，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且

，求实数m的取值范围．

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已知M是以点C为圆心的圆（x+1）²+y²=8上的动点，定点D（1，0）．点P在DM上，点N在CM上，且满足

，

•

=0．动点N的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）线段AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的取值范围．

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已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x²+y²=1上．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点．试探讨k为何值时，三角形OAB为直角三角形．

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已知椭圆C1：

=1 (a＞b＞0)过点A(0，

)且它的离心率为

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）已知动直线l过点Q（4，0），交轨迹C₂于R、S两点．是否存在垂直于x轴的直线m被以RQ为直径的圆O₁所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

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已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆x2+

=1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

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