已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆x2+y22=1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、

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已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆x2+y22=1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、

题型：不详难度：来源：
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆x2+
y2
2
=1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．
答案
（1）∵焦距为4，∴c=2…（1分）
又∵x2+
y2
2
=1的离心率为


2
2
…（2分）
∴e=
c
a
=
2
a
=


2
2
，∴a=2


2
，b=2…（4分）
∴标准方程为
x2
8
+
y2
4
=1…（6分）
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由





y=kx+1
x2
8
+
y2
4
=1
得（1+2k2）x2+4kx-6=0…（7分）
∴x1+x2=
-4k
1+2k2
，x1x2=
-6
1+2k2

由（1）知右焦点F坐标为（2，0），∵右焦点F在圆内部，∴


AF
•


BF
＜0…（8分）
∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0即x1x2-2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+1＜0…（9分）
∴(1+k2)•
-6
1+2k2
+(k-2)•
-4k
1+2k2
+5=
8k-1
1+2k2
＜0…（11分）
∴k＜
1
8
…（12分）
经检验得k＜
1
8
时，直线l与椭圆相交，∴直线l的斜率k的范围为（-∞，
1
8
）…（13分）
举一反三
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F(-


2
，0)，点F到右顶点的距离为


3
+


2

（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l与椭圆交于A、B两点，且与圆x2+y2=
3
4
相切，求△AOB的面积为


3
2
时求直线l的斜率．
题型：不详难度：| 查看答案
椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，


2
）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．
（1）求椭圆T的方程；
（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：
1
k1
+
1
k2
+
1
k3
为定值．
题型：杨浦区一模难度：| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为


2
2
，过点A的直线l与椭圆交于M、N两点，且|MN|=
4


2
3

（1）求椭圆的方程；
（2）求直线l的方程．
题型：不详难度：| 查看答案
在直角坐标系xOy中，动点P到两定点(0，-


3
)，(0，


3
)的距离之和等于4，设动点P的轨迹为C，过点(0，


3
)的直线与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）设d为A、B两点间的距离，d是否存在最大值、最小值；若存在，求出d的最大值、最小值．
题型：不详难度：| 查看答案
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为


2
2
，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为


2
．
（1）求椭圆方程．
（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当△OAB面积最大时，求|AB|．
题型：不详难度：| 查看答案
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